Unterschied zwischen dem Vektor des Physikers und dem Vektor des Mathematikers

Mathematisch wird ein Vektor als ein Element des Vektorraums definiert, das bestimmten Eigenschaften gehorcht . Als ich über die spezielle Relativitätstheorie las, erfuhr ich von einer anderen Definition von Vektoren, die wie folgt formuliert wurde:

Formal ist ein Vektor also ein beliebiger Satz von drei Komponenten, die sich auf die gleiche Weise wie eine Verschiebung transformieren, wenn sie einer Transformation (z. B. Rotation) unterzogen werden.

Meine Frage ist, kann bewiesen werden, dass die Vektordefinition durch die Physiker äquivalent ist oder zumindest ein Sonderfall der mathematischen Definition von Vektoren ist?

Der Beweis ist trivial, weil die Definition des Physikers mit einigen zusätzlichen Bedingungen die gleiche ist wie die Definition des Mathematikers.
Ein Unterschied besteht darin, dass physikalische Vektoren verschoben werden können, mathematische Vektoren jedoch nicht. In der Elementarphysik haben wir normalerweise keine Sprache, die zwischen einem Vektor und einem Vektorfeld unterscheidet . Außerdem fügt die Physik normalerweise eine zusätzliche Struktur hinzu, die die Definition eines Skalarprodukts ermöglicht, aber wir machen uns nicht die Mühe, dies in der Sprache hervorzuheben. Außerdem machen wir uns nicht die Mühe, zwischen vector , co-vector und pseudo-vector zu unterscheiden .

Antworten (2)

Es handelt sich um eine Diskrepanz in der Terminologie. Der mathematische Begriff für das, was Physiker verwenden, wäre also ein Lorentz-(oder eine andere Symmetriegruppe)-invariantes Vektorfeld. (eine kovariante Version, nämlich eine 1-Form, kann ebenfalls konstruiert werden). Sie sind tief im Inneren geometrische Objekte. Technisch gesehen sind also ein Vektorfeld oder eine 1-Form Vektoren an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit, wo sie definiert sind.

Der übliche Fall, in dem dies geschieht, ist im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie, wenn man zum ersten Mal auf "4-Vektoren" trifft. Das sind dann also mathematische Vektorfelder X = X μ ∂ μ (Physiker kümmern sich nur um die Komponenten X μ ). Dann, wenn Sie eine Lorentz-Transformation haben Λ die Sie als Matrix in Komponenten ausdrücken können Λ v μ , transformiert unseren Vektor Λ X = Λ v μ X v ∂ μ . Wenn sich ein bestimmtes Objekt nicht so transformiert, dann sagen die Physiker, dass es kein (Lorentz)-Vektor ist. Die formale Konstruktion solcher Objekte kann man in jedem Buch über Differentialgeometrie nachlesen.

Die Physik interessiert sich normalerweise für die Symmetrien eines bestimmten Szenarios, und da Vektoren, die der Symmetrie nicht folgen, normalerweise nicht "physikalisch" sind, bezeichnet man die interessanten als Vektoren.

BEARBEITEN: Wenn Sie nach einfacheren Szenarien fragen, überlegen Sie sich einfach in der linearen Algebra, wo Sie das gleiche Problem bei der Arbeit sehen können, wenn Sie Ihre Basisvektoren drehen, aber der "Pfeil", den ein Physiker im Sinn hat, zeigt weiter hinein die gleiche Richtung nach der Basisänderung (obwohl sich die linearen Kombinationskoeffizienten, die Komponente, geändert haben).

Es ist kein Missbrauch der Terminologie, es ist einfach ein Unterschied in der Verwendung zwischen zwei Feldern. Beide Felder haben eine klar definierte mathematische Definition dessen, was ein Vektor ist. Die Definitionen stimmen einfach nicht überein. Übrigens wurden das Vektor-Skalar-System und der Begriff "Vektor" von Physikern (Gibbs und Heaviside) erfunden, also wenn jemand Anspruch auf den Begriff erheben kann, dann sind es Physiker.
Es ist mir egal, wer den Namen beansprucht, ich nehme keine Partei, diese Diskussion steht außer Frage, denke ich. Es gab jedoch bereits vage Vorstellungen von Vektoren, siehe ( en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector ).

Ja, Vektoren in der Physik gehorchen den Vektorraum-Axiomen, aber sie haben auch ein spezifisches Verhalten bei Drehungen, so dass nicht alle Vektoren der Mathematiker die Vektoren der Physiker sind.

Können Sie einen Beweis zitieren oder zumindest zeigen, wie Sie mit dem Beweis vorgehen?
Physikalische Vektoren fügen hinzu: Wenn A und B Vektoren sind, ist es auch A+B. Sie können mit Mitgliedern eines Körpers (dh den reellen Zahlen) multipliziert werden: Wenn A ein Vektor ist, ist es auch 2A. Physikalische Vektoren gehorchen also den Vektorraumaxiomen. Auf der anderen Seite ist eine Einkaufsliste ein vollkommen gültiger mathematischer Vektor (Preislisten bilden den dualen Raum), aber es gibt keine Möglichkeit, sie zu drehen.
@Icchyamoy "wie man mit dem Beweis fortfährt": Zeigen Sie zuerst, dass "Verschiebung" allen Eigenschaften gehorcht. Verschiebung ist also ein mathematischer Vektor. Dann ist "ein (physikalischer) Vektor ein beliebiger Satz von drei Komponenten", der sich so verhält, daher dieselben Eigenschaften hat, daher ein mathematischer Vektor ist. Das Hinzufügen der Transformationseigenschaft oben, um einen Physikvektor zu definieren, ändert daran nichts.
Können Sie bitte angeben, welches Verhalten oder eine Ressource empfehlen?
Eine Drehung ist eine quadratische (3x3 oder was auch immer) Matrix, die (Physik) Vektoren so transformiert, dass Skalarprodukte unverändert bleiben. Daher sind sie unitär: Ihre Transversale (oder Hermitian Conjugate) ist gleich ihrer Inversen. Unter einer Drehung R transformieren sich alle Physikvektoren als v'=Rv. Für einen mathematischen Vektor ist dieses Verhalten optional (Sie können keine Einkaufsliste drehen), für physikalische Vektoren ist es unerlässlich. (Es gibt die Möglichkeit der kovarianten oder kontravarianten Variation, aber lassen wir das beiseite.)
Unterschied zwischen dem Vektor des Physikers und dem Vektor des Mathematikers
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