Warum kann die Basis von Vektoren und Einsformen nicht durch die Metrik als Vektor und Einsformen in Beziehung gesetzt werden?

Zuerst werde ich drei kurze Einleitungen anführen, damit wir beide auf derselben Seite sind, und dann werde ich die Frage beantworten. Im Folgenden werde ich Tilden verwenden, um Einsformen und ihre Komponenten von Vektoren und ihren Komponenten zu unterscheiden; Es ist üblich, diese zusätzliche Notation wegzulassen und einfach zu schreiben$X_\mu = g_{\mu \nu}X^\nu$als ob die$X$'s auf beiden Seiten sind das gleiche Objekt. Da es sich jedoch ausdrücklich nicht um dasselbe Objekt handelt, verwende ich die Notation$\tilde X_\mu = g_{\mu \nu} X^\nu$um dies explizit zu machen.

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Vorläufige Nummer 1: Die Metrik

Die Metrik$\mathbf{g}$ist ein Objekt, das zwei Vektoren linear frisst und einen Skalar (zB eine reelle Zahl) ausspuckt. Die Bestandteile von$\mathbf{g}$In einer bestimmten Basis erhalten Sie, wenn Sie die Metrik mit den Basisvektoren füttern:

$$g_{\mu \nu} \equiv \mathbf{g}(\hat e_\mu,\hat e_\nu)$$

Daher sehen Sie oft die Aktion von$\mathbf{g}$auf zwei Vektoren$\mathbf{X}=X^\mu \hat e_\mu$Und$\mathbf{Y} = Y^\nu \hat e_\nu$so geschrieben:

$$\mathbf{g}(\mathbf X,\mathbf Y)=\mathbf{g}(X^\mu \hat e_\mu,Y^\nu \hat e_\nu) = X^\mu Y^\nu \mathbf{g}(\hat e_\mu,\hat e_\nu) = X^\mu Y^\nu g_{\mu \nu}$$

Wir können die Komponenten ziehen$X^\mu,Y^\nu$vorne, weil$\mathbf g$ist linear.

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Vorrunde #2: Eins-Formen

Eine Einsform oder Kovektor ist ein Objekt, das einen Vektor linear frisst und einen Skalar ausspuckt. Beachten Sie, dass das Folgende eine Ein-Form ist:

$$\tilde{\mathbf X} := \mathbf{g}(\mathbf{X},\bullet)$$

Von einem Vektor$\mathbf X$und die Metrik$\mathbf g$, können wir eine Einsform konstruieren$\tilde{\mathbf X}$durch Stecken$\mathbf{X}$in den ersten Steckplatz von$\mathbf g$und Freilassen des zweiten Schlitzes. Wir sagen, dass die Eins-Form$\tilde{\mathbf X}$ist dual zum Vektor$\mathbf X$.

$\tilde{\mathbf X}$wirkt dann auf einen Vektor$\mathbf Y$auf die offensichtliche Weise:

$$\tilde{\mathbf X}(\mathbf Y) = \mathbf{g}(\mathbf X,\mathbf Y)$$

Insbesondere, wenn wir füttern$\tilde{\mathbf X}$ein Basisvektor$\hat e_\nu$, wir bekommen

$$\tilde{\mathbf X}(\hat e_\nu) = \mathbf{g}(\mathbf X,\hat e_\nu) = X^\mu \mathbf{g}(\hat e_\mu, \hat e_\nu) = X^\mu g_{\mu \nu}$$ Wenn wir die Ein-Form-Basis definieren$\hat \epsilon^\mu$das Eigentum zu haben$\hat \epsilon^\mu (\hat e_\nu) = \delta^\mu_\nu$, dann können wir expandieren$\tilde{\mathbf X}$in seinen Bestandteilen$\tilde X_\mu$. Die gleiche Aktion ausführen,

$$\tilde{\mathbf X}(\hat e_\nu) = \tilde X_\mu \hat \epsilon^\mu(\hat e_\nu) = \tilde X_\mu \delta^\mu_\nu = \tilde X_\nu$$

Wenn wir das mit dem vergleichen, was wir vorher bekommen haben, sehen wir das$\tilde X_\nu = X^\mu g_{\mu\nu}$.

Beachten Sie, dass wir zwar sagen, dass Eins-Formen Vektoren fressen und Skalare ausspucken, wir aber auch sagen können, dass Vektoren Eins-Formen fressen und Skalare ausspucken. Wir definieren einfach die Wirkung eines Vektors$\mathbf X$auf einer Eins-Form$\tilde{\mathbf Y}$sein

$$\mathbf X(\tilde{\mathbf Y}) := \tilde{\mathbf Y}(\mathbf X)$$ Dies wird gleich relevant sein.

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Vorläufige Nr. 3: Die inverse Metrik

Wir haben gesehen, dass wir die Metrik verwenden können, um einen Vektor zuzuordnen$\mathbf X$zu einer dualen Einsform$\tilde{\mathbf X}$; wir können auch in die andere Richtung gehen und einen Covektor zuordnen$\tilde{\mathbf Y}$zu einem dualen Vektor$\mathbf Y$. Dazu definieren wir die sogenannte inverse Metrik $\tilde{\mathbf g}$, das ist eine Karte, die zwei Einsformen frisst und einen Skalar ausspuckt.

Im Wesentlichen ist dies nur eine Metrik für den Raum von Einsformen, genau wie$\mathbf g$ist eine Metrik auf dem Vektorraum. Wir verbinden sie jedoch miteinander, indem wir fordern, dass die Vektoren$\mathbf X$Und$\mathbf Y$haben Einform-Duale$\tilde{\mathbf X}$Und$\tilde{\mathbf Y}$, Dann

$$\mathbf{g}(\mathbf X,\mathbf Y) = \tilde{\mathbf g}(\tilde{\mathbf X},\tilde{\mathbf Y})$$

Es ist eine einfache Übung zu zeigen, dass dies bedeutet, dass die Komponenten der dualen Metrik$\tilde g^{\mu \nu}$die folgende Beziehung zu den Komponenten der Metrik erfüllen:

$$\tilde g^{\mu \nu} g_{\nu \rho} = \delta^\mu_\rho$$

Dies bedeutet, dass, wenn wir sie in Matrixform ausdrücken, die$\tilde g^{\mu\nu}$'s sind die umgekehrte Matrix von$g_{\mu\nu}$'s - daher der Name "inverse Metrik". Wir können dies jetzt verwenden, um zuzuordnen$\tilde{\mathbf Y}$mit einem Vektor:

$$\mathbf Y = \tilde{\mathbf g}(\tilde{\mathbf{Y}},\bullet)$$ Es ist einfach zu demonstrieren (indem das Basis-One-Formular gefüttert wird$\hat\epsilon^\mu$Zu$\mathbf Y$wie oben definiert), dass die Komponenten von$\mathbf Y$sind, wie erwartet, gegeben durch $$Y^\mu = \tilde{g}^{\mu \nu}\tilde Y_\nu$$

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Jetzt kann Ihre Frage beantwortet werden. Es stimmt, dass die Metrik im abstrakten Sinne Vektoren in Eins-Formen „umwandeln“ kann. Wenn wir jedoch wie Sie über das „Erhöhen“ und „Senken“ von Indizes sprechen, wandeln wir die Komponenten eines Vektors in die Komponenten der entsprechenden Einsform um.

Der Ausdruck, den Sie geschrieben haben ($\tilde g^{\mu \nu} \hat e_\nu$, in meiner Notation) ist einfach eine Linearkombination von Vektoren und ist daher keine Einsform wie hier definiert. Es ist jedoch das, was Sie erhalten, wenn Sie die Basis-Eins-Form umwandeln$\hat \epsilon^\mu$in einen Vektor, den ich jetzt zeigen werde.

Beachten Sie, dass die Einsform dual zum Einheitsvektor ist$\hat e_\mu$ist nicht die Basis-Eins-Form$\hat \epsilon^\mu$; es ist die Eins-Form

$$\tilde{\boldsymbol \omega} := \mathbf{g}(\hat e_\mu, \bullet)$$

die Komponenten hat

$$\tilde \omega_{\nu} \equiv \tilde{\boldsymbol\omega}(\hat e_\nu) = \mathbf{g}(\hat e_\mu, \hat e_\nu) = g_{\mu \nu}$$

Konkret das Dual zum Basisvektor$\hat e_0$ist die eine Form

$$\tilde{\boldsymbol \omega} = g_{0\nu}\hat \epsilon^\nu = g_{00}\hat \epsilon^0 + g_{01}\hat \epsilon^1 + g_{02}\hat \epsilon^2 + g_{03} \hat \epsilon^3$$

Verwenden Sie die inverse Metrik auf genau die gleiche Weise, die duale zur Basis-Eins-Form$\hat \epsilon^0$ist der Vektor

$$\boldsymbol \omega = \tilde g^{0\nu}\hat e_\nu = \tilde g^{00}\hat e_0 + \tilde g^{01} \hat e_1 + \tilde g^{02} \hat e_2 + \tilde g^{03} \hat e_3$$

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Zusammenfassend haben wir das nicht

$$\hat\epsilon^\mu = g^{\mu \nu} \hat e_\nu$$ sondern das $$\underbrace{\tilde{\mathbf g}(\hat \epsilon^\mu,\bullet)}_{\text{The vector *dual* to the basis one-form }\hat\epsilon^\mu} = g^{\mu \nu}\hat e_\nu$$