Wie hängen diese beiden unterschiedlichen Definitionen von kovarianten Vektoren zusammen?

Der Begriff "kovarianter Vektor" ist eine abscheuliche Fehlbezeichnung. Viele Texte behandeln dies nicht richtig (was ich für wichtig halte). Womit wir es eigentlich zu tun haben, sind Objekte, sogenannte Covektoren, die nicht ganz dasselbe sind wie Vektoren. Ich werde eine kurze Erklärung unten geben.

Betrachten Sie einen Vektorraum$V$über ein Feld$F$. Das Feld entsteht, weil$V$hat die Operation der Skalarmultiplikation, so dass für alle$v \in V$Und$k \in F$, wir haben$kv \in V$. Mit anderen Worten,$F$ist nur der Satz von Skalaren, der bei der Skalarmultiplikation verwendet wird. In der Praxis,$F$ist gewöhnlich$\mathbb{R}$oder$\mathbb{C}$.

Wenn wir eine Basis definieren$\mathbf{e}_i$An$V$, dann für alle$v \in V$es gibt eindeutige Koeffizienten$v^i$so dass$v = v^i \mathbf{e}_i$. Nun führen wir den dualen Raum ein$V^*$das ist die Menge aller linearen Abbildungen aus$V$Zu$F$. Wenn$\omega \in V^*$, dann haben wir$\omega(v) \in F$. Elemente von$V$sind auch lineare Karten aus$V^*$Zu$F$, also haben wir auch$v(\omega) \in F$.

Die Elemente von$V^*$werden als Covektoren bezeichnet.

Nun definieren wir die duale Basis$\mathbf{e}^i$, die auch oft (fälschlicherweise) als kontravariante Basis von bezeichnet wird

Daher können wir auch einen Covektor zerlegen$\omega$in seine Bestandteile als$\omega = \omega_i \mathbf{e}^i$. Damit haben wir

Wie leiten wir daraus die Transformationseigenschaften der Objekte ab? Angenommen, wir definieren eine alternative Basis$\bar{\mathbf{e}}_i = A^j_i \mathbf{e}_j$Wo$A$ist eine beliebige invertierbare Matrix. Skalare, Vektoren und Covektoren existieren unabhängig von jeder Basis und müssen daher bei jedem Basiswechsel invariant bleiben. Das sehen wir also$v^i$Und$\mathbf{e}^i$transformieren mit$A^{-1}$während$\omega_i$verwandelt sich mit$A$.

Jetzt kommt der entscheidende Teil. Der metrische Tensor$g$ist definiert als der symmetrische Tensor, so dass für zwei beliebige Vektoren$u$Und$v$,$g(u,v)$ist ihr Skalarprodukt (oder inneres Produkt) und ist ein Skalar. Wir können es verwenden, um jeden Vektor in einen entsprechenden Covektor "umzuwandeln". Wenn wir einen Vektor haben$v$, sein entsprechender Covektor ist

Daher sehen wir, dass die Komponenten der entsprechende Covektor ist$g_{ij} v^j$. Das ist wirklich gemeint mit dem Anheben und Absenken von Indizes. Was wir wirklich tun, ist, die Komponenten des entsprechenden Covektors im dualen Raum zu finden. Wir können das gleiche Verfahren auf beliebige Tensoren anwenden, indem wir einen Schlitz von kontrahieren$g$mit einem Schlitz des Tensors.

Die wichtige Beobachtung hier ist, dass wir, sobald eine Metrik definiert ist, „vorgeben“ können, dass Vektoren und Covektoren gleich sind. Wenn ich ursprünglich Tensorkomponenten habe $T^{ijk}$, können wir automatisch verwenden$T^{\; jk}_i$,$T_{ijk}$,$T^{i \; k}_{\; j}$und so weiter in Berechnungen ohne Mehrdeutigkeit. Aber die Tensoren selbst leben in verschiedenen Räumen. Schließlich,$T^{ijk}$ist kein Tensor,$T^{ijk} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \mathbf{e}_k$Ist.

Ein paar zusätzliche Dinge, die nützlich sein könnten:

1. Es ist nicht notwendig, ein Koordinatensystem zu haben, um eine Basis einzuführen. Ein Koordinatensystem$x^i$ist Teil einer Struktur einer Mannigfaltigkeit$M$. Für jeden Punkt$p \in M$, sein Tangentialraum,$T_pM$, ist ein Vektorraum. Dieser Vektorraum ist die Menge der Ableitungen at$p$entlang aller durchlaufenden glatten Kurven$p$. Aus diesem Grund sind Tangentenvektoren auch partielle Ableitungen. Grundlage sind dann die Ableitungen entlang der Koordinatenkurven selbst,$\mathbf{e}_i = \partial /\partial x^i$.
2. Nur wenn$\mathbf{e}_i = \partial /\partial x^i$dann die Matrix$A$oben wird die inverse Jacobi-Matrix$\partial x /\partial \bar{x}$, Und$A^{-1}$wird der Jakobi$\partial \bar{x} /\partial x$.
3. Die Begriffe „kontravariant“ und „kovariant“ sind veraltet und stammen daher, dass$v^i$transformieren mit$A^{-1}$("contra") während$\omega_i$transformieren mit$A$("ko"). Es ist schlechte Praxis, sie weiterhin im modernen Kontext zu verwenden, in dem Tensoren mit abstrakter Indexnotation (oder anderen koordinatenfreien Methoden) behandelt werden.
4. Im euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten gibt es keinen Unterschied zwischen Vektoren und Kovektoren, da die Komponenten des metrischen Tensors nur die Identitätsmatrix sind. Nur in diesem speziellen Fall muss nicht zwischen Vektoren und Covektoren unterschieden werden und die Platzierung des Indexes spielt keine Rolle.

Um eine wortreichere Antwort zu geben, die Vincent Thackers nette, detailliertere Antwort ergänzt:

Ausgangspunkt ist, dass wir eine Mannigfaltigkeit haben,$M$. Der Tangentenraum am Punkt$p$In$M$bezeichnet ist$T_pM$und der Kotangensraum (der duale Raum des Tangentenraums) an demselben Punkt wird bezeichnet$T^*_pM$. Das Definieren eines (Ko-)Vektorfeldes auf dieser Mannigfaltigkeit beinhaltet das Auswählen eines (Ko-)Vektors in jedem (Ko-)Tangentenraum (der genaue Begriff ist ein Abschnitt ). Auf unserer Mannigfaltigkeit können wir Koordinaten auf die übliche Weise mit Diagrammen definieren, was effektiv jeden Punkt in der Mannigfaltigkeit mit einem eindeutigen Satz von Zahlen kennzeichnet und es uns ermöglicht, physikalische Berechnungen bequemer durchzuführen, anstatt vollständig abstrakt zu arbeiten.

Hoffentlich ist das obige einigermaßen verstanden.

Sobald wir Koordinaten auf unserer Mannigfaltigkeit gewählt haben, gibt es einen natürlichen Sinn, in dem wir diese Koordinaten verwenden können, um eine Basis für unseren Tangenten- und Kotangensraum zu definieren (durch partielle bzw. äußere Ableitungen der Koordinatenfunktionen). Beachten Sie, dass sich bei einer Änderung der Koordinate auf unserer Mannigfaltigkeit auch die Basis unserer Tangenten- und Kotangensräume ändert. Es ist also in diesem Sinne, dass eine Koordinatenänderung die Komponenten der Vektoren in einem Vektorfeld weiter ändert$M$, da die Koordinatenänderung eine Änderung der Basis der Tangentialräume bewirkt (dasselbe gilt für Kotangentialvektoren).

In der Physik verwenden wir dies oft, um die Vektoren und Covektoren durch "wie sie sich transformieren" zu definieren , und die beiden Definitionen sind so, wie Sie sie in Ihrer Frage angegeben haben.

Die dritte Definition, die Sie gegeben haben, hebt nur die Tatsache hervor, dass wir in der Physik oft eine Metrik auf unserer Mannigfaltigkeit haben (zum Beispiel in der allgemeinen Relativitätstheorie), und diese Metrik definiert einen linearen Isomorphismus zwischen dem Tangentenraum an jedem Punkt und dem Kotangensraum an der gleichen Punkt. Dies ist der genaue Sinn, in dem die Metrik Indizes für Vektoren und Covektoren, jeden Vektor, "erhöht und senkt".$\vec v\in T_pM$wird durch diesen Isomorphismus eindeutig zugeordnet$^{[1]}$Covektor$\tilde\omega\in T^*_pM$.

Alle Ihre Definitionen sind also bis zu einem gewissen Grad gültig, Ihre Verwirrung ergibt sich nur aus der (ehrlich gesagt schrecklichen) Art und Weise, wie die Differentialgeometrie notwendigerweise in die Physik eingeführt wird, um sich nicht zu sehr mit den mathematischen Details zu beschäftigen.

Hoffentlich ist dies hilfreich.

$[1]$- Beachten Sie, dass ein Isormorphismus per Definition eine Bijektion ist (was insbesondere eine 1-zu-1-Abbildung ist), die eine gewisse mathematische Struktur bewahrt (in diesem Fall die Vektorraumoperationen auf$T_pM$Und$T^*_pM$).