Natürlichkeit von Tensorfeldern in der Allgemeinen Relativitätstheorie?

Im dritten Kapitel des Buches The Large Scale Structure of Space-Time sagen die Autoren zu den Materiefeldern in der Allgemeinen Relativitätstheorie:

Diese Felder werden Gleichungen gehorchen, die als Beziehungen zwischen Tensoren auf [der Mannigfaltigkeit] ausgedrückt werden können, in denen alle Ableitungen in Bezug auf die Position kovariante Ableitungen in Bezug auf die durch [die Metrik] definierte symmetrische Verbindung sind. Dies liegt daran, dass die einzigen durch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definierten Beziehungen Tensorbeziehungen sind und die einzige bisher definierte Verbindung die durch die Metrik gegebene ist.

Ich habe mich also gefragt, ob es in der Differentialgeometrie eine Art mathematischen "Natürlichkeitssatz" gibt, auf den sich diese Aussage bezieht. Ich habe gelesen, dass Welttensorfelder eine Teilmenge von Spinorfeldern sind und dass auch Spinorfelder als Tensorfelder geschrieben werden können.

Ich verstehe die Frage nicht ganz. Es ist nur die Aussage, dass, da Sie nichts als die Tensoren und die Verbindung haben, jede Relation, die sie erfüllen, auch nur diese enthalten kann.
Normalerweise, wenn jemand sagt "Sie können nichts als Tensoren oder Verbindungen haben", folgt darauf implizit eine Art Bedingung "wenn Sie wollen, dass [einfügen], dass etwas passiert." Ist das eine Aussage über Mathematik ... gibt es etwas, das besagt, dass jedes Objekt, das auf einer Mannigfaltigkeit definiert ist, die X-Eigenschaften erfüllt, ein Tensor oder eine Verbindung sein muss? Oder ist es eine physikalische Vermutung, die besagt, dass jedes physikalische Objekt ein Tensor oder eine Verbindung sein muss?
Es ist nicht "Sie können nichts anderes haben", sondern "Sie können nichts anderes haben, ohne zusätzliche Strukturen zu definieren". Auf einer bloßen Mannigfaltigkeit mit Metrik gibt es einfach keine Objekte außer den Tensoren und der Verbindung. (Der Begriff „auf der Mannigfaltigkeit definiertes Objekt X“ ist jedoch etwas verschwommen.)
... vielleicht folgt die Aussage aus der Tatsache, dass zwei beliebige Raumzeiten physikalisch äquivalent sind, wenn sie isometrisch sind.
Außerdem können Tensorfelder ohne die Metrik definiert werden. Und das gilt auch für Verbindungen (obwohl die in GR verwendete kanonische mit einer verwandt ist).
Welche Seite? Ich dachte, Kapitel 2 besteht zu 100 % aus Mathematik und zu 0 % aus Physik?
Hoppla, Kapitel 3, Seite 59. Mein Fehler.

Antworten (1)

Es ist Kapitel drei, Abschnitt zwei:

Diese Felder werden Gleichungen gehorchen, die als Beziehungen zwischen Tensoren auf [der Mannigfaltigkeit] ausgedrückt werden können, in denen alle Ableitungen in Bezug auf die Position kovariante Ableitungen in Bezug auf die durch die Metrik definierte symmetrische Verbindung sind G . Dies liegt daran, dass die einzigen durch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definierten Beziehungen Tensorbeziehungen sind und die einzige bisher definierte Verbindung die durch die Metrik gegebene ist. Wenn es eine andere Verbindung auf [der Mannigfaltigkeit] gäbe, wäre die Differenz zwischen den beiden Verbindungen ein Tensor und könnte als ein weiteres physikalisches Feld betrachtet werden. Ebenso könnte eine andere Metrik auf [der Mannigfaltigkeit] als ein weiteres physikalisches Feld betrachtet werden.

Der nächste Teil ist also die No-Harm-No-Foul-Klausel. Sie haben eine Metrik und die entsprechende Verbindung, und solange Sie für andere Felder offen sind (solange es tensorielle Felder sind), gibt es keinen wirklichen Verlust. Danach erwähnen sie, dass Tensoren auch die Arbeit von Spinorfeldern übernehmen können, sodass es keinen wirklichen Verlust gibt, wenn man nur Tensorfelder betrachtet.

Sie versuchen also zu sagen, dass sie die Metrik und ihre Verbindung verwenden werden, aber dass dies zu diesem Zeitpunkt keine große Sache ist, da die Tür immer noch offen ist, um die Auswirkungen eines beliebigen Spinor- oder Tensorfelds und der Ableitungen zu simulieren zu beliebigen Verbindungen, indem einfach neue Felder postuliert werden.

Aber es motiviert nicht, warum sie das tun würden oder warum das genug ist. Es ist buchstäblich nur eine Entschuldigung dafür, dass durch die Verwendung dieser Metrik und dieser Verbindung kein Schaden angerichtet wurde. Eine Möglichkeit, die Natürlichkeit der Verwendung von Tensoren und der Verwendung dieser Metrik und dieser Verbindung zu erkennen, ist die Komma-zu-Semikolon-Regel.

Sie beginnen damit, sich etwas Physik in SR vorzustellen. Dann bringen Sie es in Tensorform. Dann können Sie dieses Ergebnis in GR übersetzen, indem Sie jede SR-Ableitung durch eine kovariante GR-Ableitung ersetzen, und jetzt haben Sie eine Tensorgleichung für GR. Da gibt es tonnenweise Bedeutung, einige Annahmen und einige Gefahren.

Zuerst die Annahmen. Es ist nicht nur offensichtlich, dass Sie davon ausgehen, dass alles, was Sie in SR tun wollten, als Tensor geschrieben werden kann. Es ist die Tatsache, dass die GR-Mannigfaltigkeit lokal frei fallende Rahmen hat, und diese Rahmen sind nicht nur lokal topologisch R N , sie haben auch die Metrik in SR-Form an einem Punkt in der Nachbarschaft, und die Ableitungen der Metrik sind auch dort Null, so dass Sie SR bis zu kleinen kontrollierbaren Korrekturen für eine ausreichend kleine frei fallende Nachbarschaft erreichen können. Sie sagen im Grunde, dass Sie Tensorgleichungen in dieser superkleinen frei fallenden Nachbarschaft und reguläre Ableitungen in dieser superkleinen frei fallenden Nachbarschaft haben möchten, und dass Sie sie als nette Tensorgleichungen für große Nachbarschaften in GR schreiben können. Sie können diese Anforderung dann wirklich in beide Richtungen nehmen und sagen, dass Sie, wenn Sie sie als Tensor und kovariante Ableitungen geschrieben haben, sich auf eine kleine frei fallende Nachbarschaft beschränken können und alles vollständig in Bezug auf physikalische Felder (die Tensoren) geschrieben wird, koordinieren Ableitungen (die kovarianten Ableitungen) und die SR-Metrik (die GR-Metrik). Die Idee ist also, dass alles in GR ein SR-Analogon haben sollte. Wenn Sie GR als kleine zusammengefügte Versionen von lokalem SR betrachten, dann sollte alles in Ihrer Theorie als lokalen SR-Teil reguläre Koordinatenableitungen, die SR-Metrik und physikalische Felder haben. Sie können es sich als ein Versprechen vorstellen, keine zusätzliche Magie zu haben. Und dass alles jenseits der Metrik und der kovarianten Ableitung (die zur SR-Metrik und zur regulären SR-Ableitung werden) explizit als physikalisches Feld eingeführt und so in SR als physikalisches Feld übersetzt wird.

Die Bedeutung ist das Äquivalenzprinzip. Es gibt einfach kein Gravitationsfeld, es gibt einfach frei fallende Rahmen, und die Physik des Wechselns von einem lokal frei fallenden Rahmen zu einem anderen wird zu 100% die Erklärung für alle angeblichen Auswirkungen der "Schwerkraft" sein, und auch das können Sie sich vorstellen als Versprechen.

Die Gefahr besteht darin, dass Sie sich immer dann, wenn Sie zwei Theorien haben, mit der Tatsache auseinandersetzen müssen, dass zwei Dinge, die in einer Theorie äquivalent sind, möglicherweise nicht in zwei Dinge übersetzt werden, die in der anderen Theorie äquivalent sind. So könnte es beispielsweise Tensorfelder geben, die SR-äquivalent sind, aber die GR-Übersetzungen sind nicht gleich. So ist das Leben. Und so erhält man GR nicht wirklich einfach, indem man mit SR beginnt und dann jedes Komma durch ein Semikolon ersetzt.

Aber Hawking und Ellis sagen, dass Sie das Gegenteil tun können, da sie sagen, dass jede andere Metrik oder Verbindung entsprechende Tensorfelder haben wird, die physikalische Felder sind, und so in SR als physikalisches Feld übersetzen.

Zusammenfassend

In GR können Sie die auf Metriken basierende Verbindung verwenden, um kovariante Ableitungen zu nehmen, und dann in der SR-Grenze, die eine reguläre Ableitung in einem kleinen lokal frei fallenden Rahmen sein wird. In GR können Sie auch explizit jede andere Metrik als physikalisches Tensorfeld und jede andere Verbindung als physikalisches Tensorfeld einführen, und dann gibt es in der SR-Grenze physikalische Felder, sodass die Operationen relativ dazu in einem kleinen lokal frei definiert werden fallender Rahmen. Schließlich könnte jedes Spinorfeld mit Tensorfeldern (und harter Arbeit) behandelt werden, und so wird jedes physikalische Feld in GR (ob Tensor oder Spinor) als physikalisches Tensorfeld dargestellt, und daher wird es in der SR-Grenze ein physikalisches Tensorfeld geben in einem kleinen lokal frei fallenden Rahmen.

Bedeutet dies, dass alles in SR ein Tensor oder eine Verbindung sein muss?
@IDunno In SR verwenden Sie nicht die Verbindung, sondern die reguläre Koordinatenableitung. Aber die reguläre Koordinatenableitung eines superkleinen frei fallenden Rahmens ist gleich der kovarianten Ableitung.
Sie verwenden immer noch eine Verbindung in SR, insbesondere wenn Sie in Nicht-Trägheitssystemen arbeiten.
@FenderLesPaul Du kannst, du kannst alles tun. Tatsächlich nähern Sie GR in linearisierter GR tatsächlich an, indem Sie die reale Metrik (Annäherungen an) als physikalisches Tensorfeld behandeln. Der Punkt ist, dass eine kovariante Ableitung (von der realen metrischen Verbindung) zu einer regulären Ableitung wird, wenn Sie zu einem lokalen frei fallenden Rahmen wechseln. Die reale Metrik wechselt zur Trägheits-SR-Metrik, wenn Sie zu einem lokalen frei fallenden Rahmen wechseln. Schließlich wechseln alle physikalischen Tensorfelder zu physikalischen Tensorfeldern, wenn Sie zu einem lokalen frei fallenden Rahmen wechseln. Und das lokale frei fallende System ist träge.
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