Wie funktioniert die 4-Vektor-Notation?

$X^\mu,X^\nu$Und$X^\sigma$sind alle der gleiche Vierervektor. Der für das Hoch- oder Tiefstellen verwendete Buchstabe spielt keine Rolle. Wenn ein Index nicht mit einem anderen Index zusammengezogen wird, um einen Skalar zu bilden, wie in$X^\mu X_\mu$, dann ist es nur ein Platzhalter, der die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen kann (oder manchmal werden t, x, y und z verwendet). Zum Beispiel auch nicht

oder

ist nur eine Abkürzung für vier Gleichungen,

Wenn ein Index zweimal auf der gleichen Seite der Gleichung erscheint, einmal oben und einmal unten, nennt man das eine Kontraktion und Sie müssen über alle vier Werte des Index summieren:

$\partial^\mu$Und$\partial^\nu$beides bedeutet$\big({\partial\over \partial t},-\vec \nabla\big)$(wenn Sie die Metrik als +--- nehmen). Aber$\partial_\mu$Und$\partial_\nu$beides bedeutet$\big({\partial\over \partial t},\vec \nabla\big)$.

Es gibt also eine Reihe von Möglichkeiten, dies zu verstehen, aber hier ist die Ansicht der "abstrakten Indexnotation".

1. Sie haben einen Vektorraum, nennen Sie ihn$\mathcal V^\bullet$. In diesem Fall sind dies Ihre Vierervektoren, die sich wie transformieren sollen$(ct, x, y, z)$in der Relativitätstheorie tun, aber Sie können diese Notation auch an anderen Stellen verwenden.
2. Sie haben einen Raum von Kovektoren, linearen Abbildungen aus$\mathcal V^\bullet$zu den reellen Zahlen$\mathbb R.$Es wird sich herausstellen, dass diese in perfekter Übereinstimmung mit Ihren Vektoren stehen, also nennen wir diesen Raum$\mathcal V_\bullet.$
3. Wir erstellen eine Reihe von Kopien von$\mathcal V^\bullet$Und$\mathcal V_\bullet,$eine für jedes Symbol, das Ihnen wichtig ist. Sie könnten also die Kopien mit griechischen Buchstaben bezeichnen, die das ersetzen$\bullet$, wie der Raum$\mathcal V^\mu$ist eine Kopie von$\mathcal V^\bullet.$Wir bezeichnen auch jeden Bewohner einer Kopie mit einem erhabenen hochgestellten Index, der angibt, zu welchem ​​Raum er gehört. So$v^\mu$ist ein lebender Vektor$\mathcal V^\mu.$Diese sind durch den Relabeling-Isomorphismus verbunden $\delta^\bullet_\bullet$die einen Vektor aufnehmen kann$\mathcal V^\mu$und sagen Ihnen, was derselbe Vektor im Raum ist$\mathcal V^\nu.$
4. In ähnlicher Weise tun wir dies für die Covektoren, aber wenn wir denselben Index für einen Vektor und einen Covektor wiederholt sehen, verstehen wir, dass dies bedeutet, den Covektor auf den Vektor anzuwenden , um einen Skalar zu erzeugen. So$v_\mu v^\nu$ist kein Skalar, sondern wir nennen es ein „äußeres Produkt“, das in einem „Tensor“-Raum lebt$\mathcal T^\nu_\mu$, der Raum aller multilinearen Abbildungen von Paaren$\mathcal V^\mu \times \mathcal V_\nu \to \mathbb R.$Aber$v_\mu v^\mu,$Da der Index wiederholt wird, bedeutet dies, den Covektor auf den Vektor anzuwenden, um einen Skalar zu erstellen, es handelt sich also um eine reelle Zahl.
5. Wir haben auch, wie der vorherige Punkt angedeutet hat, diese Tensorräume , die multilineare Abbildungen von den zugehörigen Kopien von Vektoren und Covektoren zu unseren Skalaren sind. Eine Schlüsselannahme, die wir benötigen, um das obige "Kontraktions"-Axiom vollständig allgemein zu machen, ist, dass jeder Tensor als endliche Summe von Produkten von Vektoren und Covektoren dargestellt werden kann. Der Relabeling-Isomorphismus ist also eine lineare Abbildung von einem Raum von Vektoren zu einem anderen, aber Sie können ihn auch als eine lineare Methode betrachten, um die Covektoren des letzteren Raums auf den ersteren anzuwenden.$\delta^\alpha_\beta$ist in$\mathcal T^\alpha_\beta.$
6. Wir erweitern den obigen Begriff der Anwendung eines Covektors auf einen Vektor, indem wir ausdrücklich behaupten, dass wir uns nur um Fälle kümmern, in denen jeder Tensor als endliche Summe äußerer Produkte von Vektoren und Covektoren geschrieben werden kann. Also etwas Tensor gegeben$t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\delta}$(normalerweise ist die Reihenfolge der Indizes wegen des nächsten Punktes sehr wichtig), living in$\mathcal T^{\alpha\beta\gamma\epsilon}_{\delta}$(Reihenfolge spielt jedoch keine Rolle für den Tensorraum), wir können kontrahieren , sagen wir,$\beta$mit$\delta$. Wir würden dies schreiben als$\delta^\delta_\beta ~t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\delta}$oder nur$t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\beta},$und es ist ein Tensor, der darin lebt$\mathcal T^{\alpha\gamma\epsilon}$. Was wir hier also getan haben, ist, dass wir es in eine endliche Summe von Vektoren und Covektoren hinein expandiert haben$\mathcal V^\alpha \times \mathcal V^\beta \times \mathcal V^\gamma \times \mathcal V_\delta \times \mathcal V^\epsilon$und dann haben wir alle darin lebenden Covektoren angewendet$\mathcal V_\delta$zu allen Vektoren, die darin leben$\mathcal V^\epsilon$und jeder von ihnen gab uns eine reelle Zahl mal einen Tensor, was ein anderer Tensor ist, also summierten wir alle resultierenden Tensoren, die noch vorhanden sind$\mathcal T^{\alpha\gamma\epsilon}.$
7. Schließlich führen wir einen speziellen Tensor und seine Umkehrung, den "metrischen" Tensor, ein. Sie haben dies schon einmal als „Punktprodukt“ bezeichnet. Oft wird es geschrieben$g_{\bullet\bullet},$Es ist der kanonische Weg, zwei Vektoren zu nehmen und einen Skalar zu erzeugen. Man kann es auch als den kanonischen Weg betrachten, einen Vektor zu nehmen und einen Covektor zu erzeugen. Es ist symmetrisch :$g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}.$Wie ich Ihnen oben in Punkt (2) gesagt habe, habe ich gesagt, dass die Kovektoren in perfekter Übereinstimmung mit den Vektoren stehen: was bedeutet, dass es auch einen inversen Tensor gibt$g^{\bullet\bullet}$das macht es rückgängig, so dass$g^{\alpha\beta}~g_{\beta\gamma} = \delta^\alpha_\gamma.$Es gibt also einen Weg von jedem Vektor$\vec v$um zum Covektor zu gelangen$(\vec v~\cdot~)$und zurück.
8. Die Verwendung dieses Tensors ermöglicht es uns, jeden Index willkürlich zu erhöhen und zu senken und daher zwei beliebige Indizes für jeden Tensor zu verkürzen. Erinnern also$t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\delta}$, können wir bilden $$t^{\alpha\beta\gamma\delta\epsilon} = g^{\delta\phi}~{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\phi}$$ und das ist der kanonische Weg, das zu "erhöhen".$\delta$Index von niedriger nach höher: Wir verstehen das nur implizit, wenn Sie dasselbe Basissymbol verwendet haben$t$um den Tensor zu bezeichnen, wollten Sie, dass wir diese gleich betrachten. Das ist auch der Grund, warum ich oben gesagt habe, dass die "Ordnung wichtig" ist, weil Sie möchten, dass dies immer eine gemeinsame Operation ist.

Nun, all das geschieht ohne jegliche Vorstellung von Koordinaten oder Basis, aber Sie könnten daran interessiert sein, diese zu verwenden. Wir könnten also das üblichere Alphabet aus römischen/englischen Buchstaben für Variablen reservieren, die Zahlen angeben , und sie nicht zu einem Teil der obigen abstrakten Indizes machen. Wir könnten also eine Reihe von Covektoren erfinden, die wir "Komponentenextraktoren" nennen könnten.$w_\alpha$ist ein Covektor, der a nimmt$v^\alpha$Vier-Vektor und extrahiert seine Komponente in der$w=ct$-Richtung,$x_\alpha$ähnlich könnte eine Komponente in der extrahieren$x$-Richtung,$y_\alpha$,$z_\alpha$ebenfalls. Und wir könnten entscheiden, dass es einfacher ist, diese einfach als zu nummerieren$b^{0,1,2,3}_\alpha$. Und die Schlüsseleigenschaft ist, dass es auch einige Basisvektoren im Raum geben muss,$b^\alpha_{0,1,2,3},$so dass