Matrizen und Tensoren (Beispiel in der speziellen Relativitätstheorie)

Question

Matrizen und Tensoren (Beispiel in der speziellen Relativitätstheorie)

Figarozo

Ich habe die spezielle Relativitätstheorie studiert und diese Ableitung der Lorentz-Transformationen gefunden

(\begin{array}{cccc} X^{' 0} \\ X^{' 1} \\ X^{' 2} \\ X^{' 3} \end{array}) = (\begin{array}{cccc} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{cccc} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{cccc} x'^0 \\ x'^1 \\ x'^2\\ x'^3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma \beta & 0& 0 \\ -\gamma \beta &\gamma &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cccc} x^0 \\ x^1 \\ x^2\\ x^3 \end{array} \right) \end{equation}$

und dann bezeichnet er

Λ^{μ}_{v} = (\begin{array}{cccc} γ & - γ β & 0 & 0 \\ - γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

$\begin{equation} Λ^μ{}_ν= \left( \begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma \beta & 0& 0 \\ -\gamma \beta &\gamma &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation}$ als Lorentztransformationsmatrix. Wenn das der Fall ist, welche Matrix ist zum Beispiel

Λ_{ν μ}

$Λ_{νμ}$ oder

Λ^{ν μ}

$Λ^{νμ}$ oder auch

Λ_{μ}^{ν}

$Λ_μ^ν$ .Ich bin verwirrt darüber, welche Matrix welche ist.

Jemand zur Klärung?

Woher weiß ich auch, welcher Index die erste Bedeutung hat? $Λ_{ν}{}^{\ μ}$ oder $Λ^μ{}_{\ ν}$ ?

Ich würde mich freuen, wenn Sie einen Hinweis haben, um diese zu überprüfen.

Benutzer146020

Hallo, hast du diese en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation gelesen

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Matrizen und Tensoren (Beispiel in der speziellen Relativitätstheorie)

Hallo, hast du diese en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation gelesen

Alejandro Menaja · Answer 1

Normalerweise für einen 2d-Tensor ${\Lambda_\mu}^\nu$ der erste Index ( $\mu$ ) bezieht sich auf Zeilen, während die zweite ( $\nu$ ) zu Spalten. A Lorentz-Transformationen werden dann gesehen als:

X^{' μ} = {Λ_{v}}^{μ} X^{v}

$x'^\mu={\Lambda_\nu}^\mu x^\nu$

Beim Transponieren der Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht $[{\Lambda_\mu}^\nu]^T={\Lambda^\nu}_\mu$

Der metrische Tensor $\eta_{\mu\nu}$ bietet einen natürlichen Isomorphismus zwischen dem Tangentenraum (Raum der Vektoren) und dem Kotangensraum (Raum der 1-Formen), sodass wir Indizes "senken" und "steigen" lassen.

Λ_{μ v} = η_{v σ} {Λ_{μ}}^{σ} \Rightarrow Λ_{00} = η_{0 σ} {Λ_{0}}^{σ} usw Λ^{μ v} = η^{μ σ} {Λ_{σ}}^{v} \Rightarrow Λ^{00} = η^{0 σ} {Λ_{σ}}^{0} usw

$\Lambda_{\mu\nu} = \eta_{\nu\sigma}{\Lambda_\mu}^\sigma \Rightarrow \Lambda_{00} = \eta_{0\sigma}{\Lambda_0}^\sigma\qquad\mbox{and so on}\\ \Lambda^{\mu\nu} = \eta^{\mu\sigma}{\Lambda_\sigma}^\nu\Rightarrow\Lambda^{00} = \eta^{0\sigma}{\Lambda_\sigma}^0\qquad\mbox{and so on}$ Unter Verwendung der gleichen Notation und

η_{μ ν} = d i a g (- 1, 1, 1, 1) = η^{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)=\eta^{\mu\nu}$ :

Λ_{μ v} = η_{v σ} {Λ_{μ}}^{σ} = (\begin{matrix} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & - γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\Lambda_{\mu\nu} = \eta_{\nu\sigma}{\Lambda_\mu}^\sigma = \left(\begin{matrix} \gamma & \gamma\beta & 0 & 0 \\ \gamma\beta & -\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right)$

Es ist möglich, ausschließlich mit Matrixnotation zu arbeiten, und es gibt gute Bücher zu diesem Thema (z. B. Einstein in Matrixform von Günter Ludyk), es ist jedoch sinnvoll, einen Tensor als eine Liste von Komponenten zu betrachten, die durch Indizes gekennzeichnet sind, und stattdessen Summen zu verwenden. A First Course in General Relativity von Bernard Schutz, insbesondere die Kapitel 1, 2, 5 und 6, ist ein gutes Buch zum Üben der Indexnotation und gibt einen einfachen, aber nützlichen Überblick über die Tensorrechnung.

Ich denke, die Standardnotation ist $x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu$ Und $[{\Lambda^\mu}_\nu]^T={\Lambda_\nu}^\mu$ .

Matrizen und Tensoren (Beispiel in der speziellen Relativitätstheorie)

Figarozo

Benutzer146020

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Alejandro Menaja

Saksith Jaksri

Warum ist nicht (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

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