Gestaffelte Indizes (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu vs. ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) auf Lorentz-Transformationen

Question

Gestaffelte Indizes (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu vs. ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) auf Lorentz-Transformationen

Nahsik

Ich habe einige offene Fragen zur Verwendung gestaffelter Indizes beim Schreiben von Lorentz-Transformationen und ihren Inversen und Transponierten.

Was sind die jeweiligen Bedeutungen von $\Lambda^\mu{}_\nu$ verglichen mit $\Lambda_\mu{}^\nu$ ? Wie verwendet man diese gestaffelte Indexnotation, um transponiert oder invers zu bezeichnen?

Wenn ich eines dieser Objekte nehmen und explizit als Matrizen ausschreiben möchte, gibt es dann eine Regel, um zu wissen, welcher Index Zeile und welche Spalte für ein Matrixelement beschriftet? Gilt die Regel: "(linker Index, rechter Index) = (Zeile, Spalte)" oder lautet sie "(oberer Index, unterer Index) = (Zeile, Spalte)" oder gibt es eine andere Regel für $\Lambda^\mu{}_\nu$ verglichen mit $\Lambda_\mu{}^\nu$ ?

Gibt es unterschiedliche Konventionen für dies, die von verschiedenen Autoren verwendet werden?

Als konkretes Beispiel für meine Verwirrung möchte ich versuchen zu zeigen, dass zwei Definitionen einer Lorentz-Transformation äquivalent sind.

Definition-1 (typisches QFT-Buch): $\Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta \eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu}$

Definition-2 ( $\Lambda$ Die Matrix muss das durch gegebene Pseudo-Innenprodukt bewahren $\eta$ Matrix): $(\Lambda x)^T \eta (\Lambda y) = x^T \eta y$ , für alle $x,y \in \mathbb{R}^4$ . Dies bedeutet in Bezug auf Matrixkomponenten (und jetzt wechsle ich zur linearen Algebra-Notation, weg von der Physik-Tensor-Notation): $\sum_{j,k}(\Lambda^T)_{ij} \eta_{jk} \Lambda_{kl} = \eta_{il}$ . Diese letzte Gleichung ist meine "Definition-2" einer Lorentz-Transformation, $\Lambda$ , und ich kann es nicht wie "Definition-1" aussehen lassen, dh ich kann den kleinen Unterschied in der Reihenfolge der Indizes nicht wegmanipulieren.

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/158309/2451 , physical.stackexchange.com/q/169762/2451 , physical.stackexchange.com/q/237270/2451 und Links darin.

Cinaed Simson

Die Lorentz-Transformation ist kein Tensor – sie transformiert nicht als Tensor – sie ist einfach eine lineare Abbildung.

Antworten (3)

Gestaffelte Indizes (ΛμνΛμν\Lambda^\mu{}_\nu vs. ΛμνΛμν\Lambda_\mu{}^\nu) auf Lorentz-Transformationen

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Die Lorentz-Transformation ist kein Tensor – sie transformiert nicht als Tensor – sie ist einfach eine lineare Abbildung.

Christoph · Answer 1

Konventionell werden Vektoren als Spaltenvektoren geschrieben, während duale Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben werden. Das bedeutet, dass obere Indizes prinzipiell Spalten und untere Indizes Zeilen indizieren sollten. In der Praxis übersetzen wir jedoch normalerweise Rang-2-Tensoren in Matrizen in der Reihenfolge der Indizes, wobei der erste die Zeilen und der zweite die Spalten indiziert.

Die einzige Möglichkeit, die mir einfällt, um diese Übersetzung von Tensoren in Matrizen strukturell wohldefiniert zu machen (was ich in der Literatur noch nie gesehen habe), besteht darin, alle Rang-2-Tensoren in die Form zu zwingen $\cdot\;^\mu{}_\nu$ , was durch Kontraktion mit entsprechenden 'Kronecker-Tensoren' erreicht werden kann, womit ich Rang-2-Tensoren meine, deren Komponenten 1 sind, wenn die Indizes übereinstimmen, und 0 sonst.

Nennen wir diese Tensoren $\overline\delta^{\mu\nu}$ Und $\underline\delta_{\mu\nu}$ .

Dann das in Ihrer Frage angegebene Matrixprodukt

X^{T} \cdot η \cdot j

$x^T\cdot\eta\cdot y$ würde übersetzen

(X^{μ} {\underline{δ}}_{μ v}) \cdot ({\bar{δ}}^{v a} η_{a β}) \cdot (j^{β})

$\left(x^\mu\underline\delta_{\mu\nu}\right)\cdot\left(\overline\delta^{\nu\alpha}\,\eta_{\alpha\beta}\right)\cdot\left(y^\beta\right)$ Der erste Term hat einen einzigen freien unteren Index (auch bekannt als Zeilenvektor), der zweite Term einen freien oberen und unteren Index (auch bekannt als Matrix) und der dritte Term einen freien oberen Index (auch bekannt als Spaltenvektor).

Da alle Kronecker-Tensoren durch Indexanpassung entfernt werden können, entspricht dies dem weitaus einfacheren Ausdruck

X^{μ} η_{μ β} j^{β}

$x^\mu\,\eta_{\mu\beta}\,y^\beta$

Wie Sie sehen können, gibt es zwar kein spezielles Symbol für die Transposition in der Indexnotation - es wird normalerweise durch den Index impliziert, über den summiert wird -, es könnte jedoch durch die Verwendung der "Kronecker-Tensoren" explizit gemacht werden - aber alles, was Sie gewinnen würden, wäre das Hinzufügen von unnötig Komplexität.

Kommen wir nun nach dieser Runde unnützer Gedanken zu etwas zurück, das beim Lesen von Literatur eigentlich wichtig ist :

Indizes werden durch Kontraktion mit dem metrischen Tensor und seiner Umkehrung gesenkt und erhöht. Also zum Beispiel bei einem gegebenen Tensor $A^\mu{}_\nu$ , Dann

A_{μ}^{v} \equiv A^{a}_{β} η_{a μ} (η^{- 1})^{β v}

$A_\mu{}^\nu \equiv A^\alpha{}_\beta\; \eta_{\alpha\mu}\; (\eta^{-1})^{\beta\nu}$

Für den metrischen Tensor selbst haben wir

(η^{- 1})^{μ v} = η^{μ v}

$(\eta^{-1})^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu}$ bewährt hier und für Lorentz-Transformationen

(Λ^{- 1})^{τ}_{μ} = Λ_{μ}^{τ}

$(\Lambda^{-1})^\tau{}_\mu = \Lambda_\mu{}^\tau$ hier bewährt .

Dies ist eine besondere Eigenschaft dieser spezifischen Tensoren und gilt nicht für beliebige.

Danke - tolle Antwort! Wie identifizieren wir außerdem die Matrixelemente für einen vollständig erniedrigten oder vollständig erhöhten Rang-2-Tensor? Ist es immer (links, rechts) = (Zeile, Spalte)?
@Nahsik: Ich glaube schon; Wenn beide Indizes vom gleichen Typ sind, gibt es keine intrinsische Zuordnung zu Zeilen und Spalten, also gehen wir von der Konvention für Matrixindizes aus; Das ist auch meine Vermutung, warum wir normalerweise lineare Karten schreiben $A^\mu{}_\nu$ statt der ebenso gültigen Wahl $A_\nu{}^\mu$ - Nur bei ersterem ist die Reihenfolge der Indizes Reihe , Spalte
Ich bin mir nicht sicher, ob die Bemerkung Ihrer ursprünglichen Antwort zu Zeilen/Spalten richtig ist. Sie sagen, der obere Index beschriftet die Spalte. @joshphysics sagt, dass der Index ganz links die Zeile beschriftet. Das heißt, Sie sagen, dass die Unterscheidung zwischen oben und unten wichtig ist, um ein Matrixelement zu identifizieren, aber er sagt, dass die Unterscheidung zwischen links und rechts wichtig ist. Er sagt das in dieser Antwort: physical.stackexchange.com/a/118580/116779
Um dies zu verdeutlichen, wäre es nach Joshphysics' Interpretation der Notation ratsam, die Notation von zu vermeiden $\Lambda_\mu{}^\tau$ , da es dasselbe ist wie $(\Lambda^{-1})^\tau{}_\mu$ , was zeigt, dass der wahre Index ganz links tatsächlich ist $\tau$ .
Und um näher darauf einzugehen, warum ich zu der Annahme neige, dass Joshphysics richtig ist, wenn er sagt, dass ganz links die Zeile angibt, betrachten Sie das Produkt $B^\mu{}_\nu v^\nu$ . Hier, $v^\nu$ ein Vektor (dh ein Spaltenvektor) ist, also beschriftet sein Index Zeilen (dh Komponenten eines Spaltenvektors). Der mit diesem Index kontrahierte Matrixindex muss natürlich der Spaltenindex der Matrix sein. So $\nu$ (der Index ganz rechts) beschriftet die Spalten der Matrix und $\mu$ ist dann der Index ganz links, der die Zeilen beschriftet, in Übereinstimmung mit Joshphysics.

Jack · Answer 2

Nicht richtig. $(\Lambda^{T})^\mu{}_\tau = \Lambda_\tau{}^\mu$ Die von Ihnen verwendete Quelle hat nicht berücksichtigt, dass die Indexnotation Matrizen nicht von ihren Transponierten unterscheidet, daher der Fehler. Die richtige Umkehrung lautet: $(\Lambda^{-1})^\mu{}_\tau = \Lambda^{\tau}{}_{\mu}$ Diese Notation findet sich beispielsweise in Schutz und steht im Einklang mit den Kronecker-Tensoren sowie der gestrichenen/ungestrichenen Konvention. Diese Regeln gelten nur für LT-Matrizen - eine beliebige (Nicht-LT-)Matrix würde immer noch die Standardtranspositionsregel verwenden.

Ich denke, das liegt daran, dass er verwendet $\Lambda ^T \eta \Lambda = \eta$ um die angegebene Indexnotation zu erhalten ... Ich habe diese Art von Berechnung in einem Artikel gesehen, aber ich habe vergessen, was es ist.

MannyC · Answer 3

Ich denke darüber nach, indem ich versuche, immer den nächsten Index zu kontrahieren. So $\omega_\mu$ verwandelt sich als

ω_{μ} \to ω_{μ}^{'} = Λ_{μ}^{v} ω_{v},

$\omega_\mu \;\to\;\omega_\mu^{\,\prime} = \Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\, \omega_\nu\,,$ Und

v^{μ}

$v^\mu$ verwandelt sich als

v^{μ} \to {v^{μ}}^{'} = Λ_{v}^{μ} v^{v} .

$v^\mu \;\to\;{v^\mu}' = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu}\, v^\nu\,\,.$ Die Regel zum Erhöhen/Senken muss die Reihenfolge der Indizes beibehalten (dh nur vertikal verschieben), also

G^{μ σ} G_{v λ} Λ_{σ}^{λ} = Λ_{v}^{μ}, G_{μ σ} G^{v λ} Λ_{λ}^{σ} = Λ_{μ}^{v} .

$g^{\mu \sigma} g_{\nu\lambda}\,\Lambda_\sigma^{\phantom{\sigma}\lambda} = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu}\,,\qquad g_{\mu \sigma} g^{\nu\lambda}\,\Lambda^\sigma_{\phantom{\sigma}\lambda} = \Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,.$ Lassen Sie mich bezeichnen

g

$g$ die Matrix

(g^{μ ν})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$(g^{\mu\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ , von

Λ

$\Lambda$ die Matrix

(Λ_{ν}^{μ})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$(\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ und von

\tilde{Λ}

$\tilde\Lambda$ die Matrix

(Λ_{μ}^{ν})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$(\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ . Beachten Sie, dass aufgrund von

g^{μ ν} g_{ν ρ} = δ_{ρ}^{μ}

$g^{\mu\nu}g_{\nu\rho} = \delta^\mu_{\phantom{\mu}\rho}$ , hat man auch

g^{- 1} = (g_{μ ν})_{\begin{matrix} μ & \to r o w \\ ν & \to c o l \end{matrix}}

$g^{-1} =(g_{\mu\nu})_{\substack{\mu&\to\mathrm{row}\\\nu&\to\mathrm{col}\\}}$ .

Die obigen Gleichungen lesen sich in dieser Notation

G \tilde{Λ} (G^{T})^{- 1} = Λ, G^{- 1} Λ G^{T} = \tilde{Λ} .

$g\,\tilde{\Lambda}\,(g^{\mathsf{T}})^{-1} = \Lambda \,, \qquad g^{-1}\,\Lambda\,g^{\mathsf{T}} = \tilde{\Lambda}\,.$ Durch offensichtliche Manipulationen und Verwendung

g = g^{T}

$g = g^{\mathsf{T}}$ wir bekommen zb

Λ^{- 1} G \tilde{Λ} = G .

$\Lambda^{-1} \,g\,\tilde{\Lambda} = g\,.$ A priori

Λ

$\Lambda$ Und

\tilde{Λ}

$\tilde{\Lambda}$ sind unabhängige Matrizen, aber die obige Gleichung legt angesichts der Definition von Lorentz-Transformationen nahe, sie zu definieren

\begin{matrix} (1) & Λ^{- 1} = {\tilde{Λ}}^{T} . \end{matrix}

$\Lambda^{-1} =\tilde{\Lambda}^{\mathsf{T}}\,.\tag{1}$ Die Skalarprodukte funktionieren auch. In der Tat

ω \cdot v \equiv ω_{μ} v^{μ} \to ω_{μ}^{'} {v^{μ}}^{'} = ω_{v} Λ_{μ}^{v} Λ_{ρ}^{μ} v^{ρ} = ω \cdot {\tilde{Λ}}^{T} Λ \cdot v = ω \cdot v .

$\omega \cdot v \equiv \omega_\mu v^\mu \;\to\;\omega_\mu^{\,\prime} {v^\mu}' = \omega_\nu \,\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\rho}\,v^\rho = \omega \,\cdot\,\tilde{\Lambda}^{\mathsf{T}}\,\Lambda\,\cdot v = \omega \cdot v\,.$ Und klar kann das gleiche gezeigt werden, indem nur die Indizes manipuliert werden

Λ_{μ}^{v} Λ_{ρ}^{μ} = G^{μ σ} G_{ρ λ} Λ_{μ}^{v} Λ_{σ}^{λ} = G_{ρ λ} G^{v λ} = δ_{ρ}^{v} .

$\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\rho} = g^{\mu\sigma}g_{\rho\lambda}\,\Lambda_\mu^{\phantom{\mu}\nu}\,\Lambda^\lambda_{\phantom{\lambda}\sigma} = g_{\rho\lambda} g^{\nu\lambda} = \delta_\rho^{\phantom{\rho}\nu}\,.$ Meiner Meinung nach wäre der klarste Ansatz, sie zu erklären, zu sagen, dass die Up-Down-Matrix und die Down-Up-Matrix a priori unabhängige Matrizen sind, und dann die Einschränkung einzuführen

(1)

$(1)$ .

In Ihrer vierten angezeigten Gleichung (es handelt sich tatsächlich um ein Gleichungspaar) befindet sich das hochgestellte "T" meiner Meinung nach in jeder Gleichung dieses Paares auf dem falschen g. Außerdem denke ich, dass wir in Ihrem letzten Kroncker-Delta moralisch verpflichtet sind, der Indexplatzierung vollen Respekt zu zollen (zumindest in der gegenwärtigen Diskussion), daher sollten Rho und Nu versetzt sein, wobei das Rho an erster Stelle steht.
Danke für den Kommentar. Ich denke, die Platzierung von $\mathsf{T}$ war richtig, aber um fair zu sein, habe ich die zugehörige Matrix nicht definiert $g$ mit niedrigeren Indizes. Ich denke jetzt ist es klarer. Ich habe auch die Indizes auf der verschoben $\delta$ auch wenn es meiner Meinung nach besser wäre, sie zu belassen, um sie zu betonen $\delta^\mu_{\;\rho} = \delta^{\;\mu}_\rho$ .
Kleine Korrektur: Meistens erkennt man richtig $\Lambda$ als Matrix, aber irgendwann nennst du es einen Tensor, obwohl es eindeutig keiner ist.

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Warum ist nicht (ΛT)μν=Λνμ(ΛT)μν=Λνμ{(\Lambda^T)^\mu}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu?

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