4-Vektor-Definition

Angenommen, Sie haben$4$physikalische Quantitäten$U_0$,$U_1$,$U_2$, Und$U_3$. Gegeben sei ein wohldefiniertes physikalisches System$S$, diese Größen sind wohldefiniert. Wenn Sie dann eine Lorentz-Transformation durchführen, wird das System aus der Sicht eines anderen Beobachters betrachtet. Auf diese Weise interpretiert, nennen wir dies eine passive Transformation. Sie können die Änderung durch die Lorentz-Transformation aber genauso gut auf eine Systemänderung zurückführen. Wir nennen dies eine aktive Transformation. Die beiden Interpretationen sind äquivalent, weil das, was der andere Beobachter im passiven Fall sieht, von diesem Beobachter genauso bewertet wird, wie der ursprüngliche Beobachter es bewertet hätte, wenn er/sie dasselbe gesehen hätte.

Dann, seit dem$U_j$gut definierte Funktionen des Systems sind, jede Änderung im System, die durch die aktiv interpretierte Lorentz-Transformation induziert wird, definiert, wie die Funktionen funktionieren$U_j$wird sich verändern. Die Art und Weise$U_j$sich ändern wird, also wohldefiniert ist, gibt es keine a priori Annahme, dass sich diese Größen wie ein 4-Vektor transformieren werden. Wir hätten zB wählen können$4$Größen, die sich jeweils wie Skalare transformieren.

Der Beweis des Quotientensatzes, der besagt, dass wenn$V^{\mu}U_{\mu}$transformiert sich wie ein Skalar für jeden beliebigen Vierervektor$V^{\mu}$bedeutet, genau diese Tatsache aufzuschreiben:

Und dann fügen Sie die Lorentz-Transformationsregel für die Transformation von ein$V^{\mu}$:

Da muss dies dann für jeden beliebigen gelten$4$-Vektor$V^{\mu}$, können wir dies für den speziellen Fall berücksichtigen, wo$V^{\mu}$ist der Einheitsvektor, der in etwas willkürlich zeigt$\rho$-Richtung, dh$V^{\mu} = \delta^{\mu}_{\hphantom{\rho}\rho}$:

Beide Seiten vereinfachen ergibt:

Das ist dann die Rücktransformation, die Transformation aus$U_{\mu}$Zu$U'_{\mu}$wird gegeben von:

Könnte ich nicht einfach schlagen$Λ$auf irgendetwas und sagen: "Oh, sieh mal, es ist verwandelt"?

Sie könnten, aber das ist nicht das, was diese Aussage tut. Anhand des von Ihnen gewählten Beispiels$A^\mu$ist nicht nur eine Tupel reeller Zahlen - es ist eine sehr spezifische Kombination$(\phi,\vec A)$von bereits existierenden Konzepten, nämlich den elektrostatischen Skalar- und Vektorpotentialen.

Wenn du das sagst$A^\mu$wie ein Vektor transformiert, machen Sie eine nicht triviale Aussage über die Skalar- und Vektorpotentiale, die ein sich bewegender Beobachter benötigt, um eine gegebene Feldkonfiguration zu erklären, und Sie stellen die bejahende Behauptung auf, dass das Skalarpotential Terme der Form annehmen wird$\gamma\vec v \cdot \vec A$und umgekehrt, genauso wie es eine Viererposition tut.

Das muss natürlich separat bewiesen werden, wobei die Details des Beweises davon abhängen, für welche Definition Sie sich entschieden haben$A^\mu$, aber wenn das Objekt selbst eine nicht triviale Bedeutung hat, dann wird es auch seine Transformation tun.

Vektoren sind Elemente linearer Räume. Und jeder lineare Raum hat eine Basis. Ein 4-Vektor bedeutet einfach einen Vektor in einem 4-dimensionalen Raum. Der Ausdruck

ist ein Basiswechsel.

Lassen Sie mich der Vollständigkeit halber auf diesen letzten Punkt näher eingehen. Fixieren Sie zwei Basis in diesem 4-dimensionalen Vektorraum,$e_{\mu}$Und$\tilde{e}_{\alpha}$. Das bedeutet, dass jeder Vektor$A$kann geschrieben werden als

Die reellen (oder komplexen) Zahlen$A^{\mu}$Und$\tilde{A}^{\alpha}$werden als Koordinatendarstellungen von bezeichnet$A$. Sie stellen dasselbe Objekt dar$A$, jeweils nur in einer anderen Basis geschrieben.

Sie können nun einen Basiswechsel betrachten, also eine lineare Transformation auf diesem Vektorraum, der die Basis nimmt$\tilde{e}$zur Grundlage$e$:

so dass die folgende Gleichheit gilt

andeutend

Kommentar . Ich denke, eine gute Referenz dafür könnte Schutzs Buch über die allgemeine Relativitätstheorie, Kapitel 2, sein.

Ich weiß also, dass Sie bereits eine Antwort akzeptiert haben, aber meiner Meinung nach ist dies sehr wichtig und wird mit unseren Studenten nicht genug diskutiert:

Der Begriff "ist ein Tensor", wie wir ihn in der Physik verwenden, ist im Allgemeinen syntaktisch , nicht semantisch.

Das bedeutet, dass es kein physikalisches Objekt ist, das ein Vierervektor oder kein Vierervektor ist, sondern eine Vektorgleichung, die entweder kovariant oder nicht kovariant ist, und der einfachste Weg, sie kovariant zu schreiben, ist if alle konstituierenden Einheiten „sind Tensoren“.

Hier ist, was ich genauer meine: Technisch gesehen haben Sie einen geometrischen Raum, und die Bewohner dieses Raums sind die wahren, semantischen,$[m, n]$-Tensoren. Es gibt eine Reihe von "Skalaren" ^{1 und darüber, die Ihre "Vektoren" 2} definieren und darüber können Sie Koordinatensysteme ³ und Kovektoren und definieren$[m,n]$-Tensoren allgemein ⁴ . Dort leben die "echten" Tensoren.

Aber wenn ich in der Physik sage "das ist ein Tensor", dann meine ich damit, dass dieser Ausdruck genau einen Tensor im geometrischen Raum hervorhebt . Wenn dies der Fall ist, dann ist diese physikalische Größe „ein Tensor“, und wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie es nicht.

Deshalb können wir sagen: "Ein Vektor ist alles, was sich wie ein Vektor transformiert." Wir meinen "wenn Sie von den Koordinaten wechseln$C$zu Koordinaten$C'$im geometrischen Raum wissen wir, wie sich die Komponenten seiner Vektoren vermischen. Wenn sich zufällig eine Ansammlung messbarer Zahlen auf die gleiche Weise vermischt, dann kann sie genau einem dieser Tensoren zugeordnet werden, und in diesem Sinne ist die Ansammlung „ein Tensor“.

Das einfachste Beispiel, obwohl es in einen Kurs reichen kann, den Sie noch nicht hatten, ist ein Christoffel-Symbol. Ein Christoffel-Symbol ist ein Teil der Differentialgeometrie, der uns hilft, Ableitungen in gekrümmten Räumen vorzunehmen. Ein Symbol wie$\Gamma^a_{bc}$sieht sicherlich wie ein [1, 2]-Tensor aus. Es hat numerische Komponenten wie eins! Warum ist es bekanntermaßen „kein Tensor“?

Das liegt daran, dass es einen Tensor gibt, der diese Komponenten im aktuellen Koordinatensystem hat , und Sie können berechnen, was diese Komponenten dieses Tensors in einem transformierten Koordinatensystem sein müssen, aber wenn Sie das Christoffel-Symbol dieses anderen Koordinatensystems ableiten, ist es so wird diese transformierten Komponenten nicht haben . Also ja, das Christoffel-Symbol in irgendeinem Koordinatensystem$A$zufällig mit einem Tensor zusammenfällt , aber wenn Sie in ein anderes Koordinatensystem wechseln$B$dann werden Sie feststellen, dass es tatsächlich nur ein Zufall war, dass diese bestimmte geometrische Einheit Ihre war$\Gamma$. Der abstrakte Begriff "Christoffel-Symbol" ist so definiert, dass er je nach Koordinatensystem durch eine Reihe verschiedener Tensoren verkörpert werden kann und daher "kein Tensor" ist.

Verstehst du, was ich meine, wenn ich sage, dass es sich um ein syntaktisches Konzept handelt? Die Gleichung sondert eine Menge von Zahlen heraus und diese Menge von Zahlen ist ein Tensor, das Problem besteht darin, dass in verschiedenen Koordinatensystemen dieselbe Gleichung eine andere Entität aussondert und daher dieser Ausdruck kein Tensorausdruck ist .

Die spezielle Relativitätstheorie sagt also, wenn Sie auf eine Uhr zu beschleunigen, scheint sie schneller zu ticken, proportional zu ihrer Entfernung zu Ihnen und Ihrer Beschleunigung. Dies ist die einzige grundlegende Tatsache, die die spezielle Relativitätstheorie unserer Physik hinzufügt; alles andere lässt sich daraus ableiten. Wir haben zufällig einen 4D-Minkowski-Raum, in dem die abstrakten geometrischen Einheiten Lorentz-Transformationen gehorchen und dabei eine Metrik beibehalten$\operatorname{diag}(1, -1, -1, -1)$. Und wenn wir es ausrechnen, die Montage von Komponenten$(ct, x, y, z)$wird, wenn Sie die Tatsache kontrollieren, dass der geometrische Raum nicht weiß, was "Einheiten" sind, einer einzigen geometrischen Einheit in diesem Raum entsprechen: Wenn Sie diese Koordinaten mit dieser Regel aus der speziellen Relativitätstheorie transformieren, werden Sie feststellen, dass die neuen Positions- und Zeitkomponenten stimmen mit den relativistischen Komponenten überein. Und deshalb sagen wir, dass diese Komponenten „ein Vierervektor sind“.

1. Sie können die spezielle Relativitätstheorie von der allgemeinen Relativitätstheorie in einer sehr langweiligen Grenze erhalten. In der allgemeinen Relativitätstheorie haben Sie einen abstrakten Raum von "Punkten".$\mathcal M$und Sie müssen eine Reihe von reellwertigen Skalarfeldern definieren$\mathcal S \subset \mathcal M \to \mathbb R$, was "glatt" in dem Sinne sein muss, dass das Set unter dem geschlossen werden muss, was ich "$k$-Funktoren", das sind Funktionen aus$C^\infty(\mathbb R^k, \mathbb R)$interpretiert als "punktweise" auf den Ausgang wirkend, zB z$k=2$wir hätten$f[s_1, s_2](p) = f\big(s_1(p),~s_2(p)\big)$. Dieses Set definiert auch Ihre Topologie, also wie der Raum verbunden ist. Beachten Sie, dass dies einen Abschluss unter punktweiser Addition und Multiplikation ergibt.
2. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die Vektorfelder die Leibniz-linearen Abbildungen$\mathcal V\subset \mathcal S\to\mathcal S$. Also wenn$V$ein Vektorfeld ist, bedeutet dieser "Leibniz-lineare" Begriff, dass für jedes$k$-Funktor, mit$\bullet^{(i)}$bedeutet "partielle Ableitung von$\bullet$in Bezug auf seine$i^\text{th}$Argument", würden wir sagen $$V\Big(f[s_1, s_2, \dots s_k]\Big) = \sum_{i=1}^n f^{(i)}[s_1\dots s_k]\cdot V(s_i).$$
3. Sie müssen technisch gesehen ein Koordinatensystem in GR annehmen . Formal besagt das Axiom, dass es um jeden Punkt eine Nachbarschaft gibt und$n$Skalare Felder$c_{1,2,\dots n}$so dass jedes Vektorfeld innerhalb dieser Nachbarschaft als geschrieben werden kann$n$-Funktor$f[c_1,\dots c_n].$Dann kann man einen Vektor eindeutig als Richtungsableitung mit Komponenten identifizieren$v_i = V(c_i).$Diese Komponenten sind immer Skalarfelder, wohlgemerkt.
4. Ein Covektor ist eine lineare Abbildung von Vektoren zu Skalaren,$\operatorname{Hom}(\mathcal V \to \mathcal S)$oder wie auch immer Sie es notieren möchten. Ein$[m, n]$-tensor ist eine multilineare Abbildung aus$m$Covektoren u$n$Vektoren zu einem Skalar. Es gibt ein Axiom, das besagt, dass es eine Metrik gibt$[0,2]$-Tensor und a$[2, 0]$-tensor, der dazu invers ist und eine Bijektion zwischen dem Vektorraum und dem Covektorraum und allgemeiner zwischen allen bereitstellt$[m,n]$-Tensoren mit dem gleichen$m+n$. Darüber hinaus benötigt man ein Axiom, das beliebig ist$[n, 0]$-Tensor kann als eine große Summe von Produkten von Vektoren geschrieben werden, sodass der Raum der Tensoren nicht wesentlich interessanter ist als die Produkte der Räume von Vektoren und Kovektoren.