Beweis, dass Viererpotential ein Vierervektor ist

Das funktioniert einwandfrei, ist aber eher eine Heuristik.

Wenn$\lambda$ist eine Skalarfunktion, was bedeutet, dass$\lambda \mapsto \lambda' = \lambda\circ \Lambda^{-1}$unter einer Lorentz-Transformation$\Lambda$, Dann$\lambda(x) \mapsto \lambda'(x') = \lambda(\Lambda^{-1}\Lambda x) = \lambda(x)$. Die meisten Funktionen, die aussehen, als wären sie Skalare, sind Skalare, Ausnahmen beinhalten normalerweise Ableitungen in irgendeiner Form. Insbesondere$f(x) = x^0$ist eine vollkommen feine Skalarfunktion, obwohl es kein Lorentz-Skalar in dem Sinne ist$f(\Lambda x) = f(x)$. Es ist eine verwirrende Terminologie.

In gleicher Weise bedeutet das Transformieren als Vierervektor unter Lorentz-Transformationen$A^\mu \mapsto \Lambda_\nu^\mu A'^\nu$(Beachten Sie noch einmal die Primzahl, die für steht$A' = A\circ\Lambda^{-1}$), oder$A\mapsto \Lambda\circ A\circ \Lambda^{-1}$, seit damals$A^\mu(x) \mapsto \Lambda^\mu_\nu A'^\nu(x') = \Lambda^\mu_\nu A^\nu(x)$- Der Punkt, an dem Sie die Funktion nach der Transformation auswerten, hat sich immer noch nicht geändert, aber die Transformation hat nicht nur die Art und Weise geändert, wie die Koordinate ausgedrückt wird (wie$x'$anstatt$x$), sondern auch die Grundlage Ihres Vektorraums.

Also, endlich, ja$\partial^\mu \lambda$ist ein Vierervektor, wenn$\lambda$ist eine Skalarfunktion, einfach weil$\partial^\mu \mapsto \Lambda^\mu_\nu \partial'^\nu$Und$\lambda(x)\mapsto \lambda'(x')$. Da das Hinzufügen von zwei Dingen, die nicht vom gleichen Typ sind, im Allgemeinen nicht sehr gut definiert ist, schließen wir daraus$A^\mu$besser ein Vierervektor sein, wenn es eine sinnvolle Größe sein soll. „Besser sein“ ist jedoch kein Beweis. Formal müssen Sie Ihre Definition von überprüfen$A^\mu$und folgere daraus, dass es sich um einen Vierervektor handelt. Wie genau das funktioniert, hängt davon ab, ob Sie es aus den nicht-relativistischen Teilen zusammengeschustert haben$\phi,\vec A$oder definierte es als Stammfunktion des Feldstärketensors$F$.

Hinzufügen eines Vierervektors ($\partial^\mu \lambda$) zu 4 Komponenten ($A^\mu$) bedeutet nicht unbedingt, dass die vier Komponenten ein Vierervektor sind. Der übliche Beweis dafür$A^\mu$ist ein Vierervektor folgt aus der Wellengleichung