Berechnen Sie das elektrische Feld eines sich bewegenden unendlichen Magneten ohne Verstärkung

Erstens erhält man zwangsläufig die gleichen Lösungen, wenn

1. er löst das Problem im Ruhesystem der Platte und transformiert dann das Ergebnis durch Lorentz in das Bild, in dem sich die Platte bewegt;

2. oder wenn man das Problem direkt in dem Rahmen löst, in dem sich die Platte bewegt.

Der Grund dafür ist, dass die Maxwell-Gleichungen unter den Lorentz-Transformationen kovariant sind. Wenn sie also in einem Frame zufrieden sind, werden sie auch in jedem Frame zufrieden sein, der mit Boosts verbunden ist. Wir müssen jedoch alle Magnetisierungen und materiellen Beziehungen usw. richtig transformieren und die entsprechenden Bewegungsquellen hinzufügen, was die Hauptsubtilität im folgenden Text sein wird.

In Ihrem speziellen Problem kann man ohne viel Nachdenken einige allgemeine Aussagen über die magnetischen (und elektrischen) Felder machen. Zum Beispiel, wenn$\vec M$ist in dem$x$-Richtung, bedeutet dies, dass man sich vorstellen kann, dass sich die Elektronen in die drehen$yz$-Ebene. Nehmen Sie eine Oberfläche der Platte parallel zu der$yz$-Ebene - dh eine Fläche, die zu a gehört$x=x_0$Ebene. Es ist ziemlich klar, dass es zwangsläufig eine Komponente des Magnetfelds geben wird$\vec B$im$x$-Richtung in der Nähe der Außenseite der Oberfläche. Steigert man die$B_x$Magnetfeld in der$z$-Richtung, gibt es unvermeidlich ein elektrisches Feld ungleich Null in der$y$-Richtung,$E_y$.

In dem Rahmen, in dem sich die Platte bewegt, scheinen wir keine elektrischen Quellen zu haben$\rho$des$\mbox{div}\,\vec D=\rho$Gaußsches Gesetz und keine rechte Seite der Maxwell-Faraday-Gleichung,$\nabla\times \vec E = -\partial \vec B / \partial t$. Da es also keine elektrischen Quellen gibt, würde man meinen, dass das elektrische Feld verschwinden sollte. Dies ist jedoch ein fehlerhaftes Argument, da die Form der Maxwell-Gleichungen, die wir hier verwenden, nur "Maxwell-Gleichungen für Materialien in Ruhe" sind.

Insbesondere wird das Gaußsche Gesetz optimiert$\vec D$von denen wir uns vorstellen, gegeben zu werden$\epsilon \vec E$, und ist „rein elektrisch“. Für ein sich bewegendes Material sollte jedoch ein zusätzlicher Begriff des Typs vorhanden sein$\vec v\times \vec M$darin enthalten$\vec D$. Weil letzteres einen Wert ungleich Null hat$y$-Komponente im beweglichen Rahmen, gibt es einen Wert ungleich Null$E_y$auch in diesem Rahmen.

Die genaue Form von Maxwells Gleichungen in einem sich bewegenden Medium kann verwirrend und ungewohnt sein, daher denke ich, dass es eine gute Idee sein könnte, zu versuchen, die lokale Physik bei Bedarf in das Ruhesystem eines beliebigen Materials umzuwandeln und möglicherweise eine Lorentz-Rücktransformation durchzuführen. Wann immer Feinheiten auftreten würden, müsste man die Ableitung der "makroskopischen Maxwell-Gleichungen" (für Materialien) erneut überprüfen und mit der Möglichkeit, Materialien zu bewegen, wiederholen.

Mikroskopische Maxwellsche Gleichungen

Alternativ könnten Sie immer versuchen, die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen zu verwenden, die das Gaußsche Gesetz in der Form enthalten$\vec \nabla\cdot \vec E = \rho / \epsilon_0$. Aber in dieser Form$\rho$beinhaltet nicht nur die kostenlosen Gebühren, sondern auch die materialbedingten "Mikroskopgebühren".

Da die Platte Werte ungleich Null hat$j_y$Und$j_z$(Ströme im Inneren des Materials) - erinnern Sie sich, dass die Elektronen im Material rotieren$yz$-Ebene (um die magnetische zu erzeugen$x$-Feld), es ist auch wahr, dass, wenn wir das System in der verstärken$z$Richtung, das entsprechende Vielfache von$j_z$wird einen Wert ungleich Null erzeugen$\rho$(mikroskopische Ladungsdichte). Dies wird die Quelle der sein$E_y$oben diskutiertes Feld. Insbesondere,$j_z$wird proportional sein$[\delta(y-y_1)-\delta(y-y_2)]$im Rahmen der Platte, was bedeutet, dass es geben wird$\rho \sim [\delta(y-y_1)-\delta(y-y_2)]$in dem Rahmen, in dem sich die Platte bewegt. Es ist das$\rho$das wird einen Wert ungleich Null induzieren$E_y$direkt außerhalb des Materials (in dem Rahmen, in dem sich die Platte bewegt).

Eine sehr einfache Herangehensweise besteht darin, die elektrischen und magnetischen Polarisationen zu erkennen$(-\textbf{P},\textbf{M})$transformieren Sie genauso wie die Felder$(\textbf{E},\textbf{B})$(Hnizdo 2011). Im Laborrahmen ist die magnetisierte Platte auch elektrisch polarisiert, sodass eindeutig ein nicht verschwindendes elektrisches Feld vorhanden ist. Eine gute Möglichkeit, das zu sehen$(-\textbf{P},\textbf{M})$ muss mischen, dass wir sonst genau das in der Frage beschriebene Paradoxon erhalten würden.

Das zu sehen$(-\textbf{P},\textbf{M})$transformiert sich genau so wie$(\textbf{E},\textbf{B})$, es genügt, das zu beachten, wenn wir die Felder aufteilen$(\textbf{E},\textbf{B})$in ihren makrosopischen Teil$(\textbf{D},\textbf{H})$und deren mikroskopischer Teil$4\pi(-\textbf{P},\textbf{M})$, ist diese makroskopisch-mikroskopische Aufteilung frameunabhängig.

Hnizdo und McDonald, „Fields and Moments of a Moving Electric Dipole“, 2011, http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/movingdipole.pdf