Die Konvention zum Notieren von Indizes eines Tensors besteht darin, einen kontravarianten Index hochgestellt und einen kovarianten Index tief zu schreiben. Hat man einen reinen kontravarianten oder einen reinen kovarianten Tensor von nd bestellen, dann der Verband der th Index mit dem Dimension des Tensors ist klar:
Kommt es jedoch zu einem gemischten Tensor von nd order stoße ich häufig auf die Notation
Selbst wenn war in den Indizes symmetrisch Und , im Allgemeinen, da sie sich unter einer Transformation unterschiedlich transformieren :
Sogar die gängige Literatur verwendet diese positionsunabhängige Notation (z. B. Theoretische Physik 4 von Wolfgang Nolting), ebenso einige meiner Professoren in Teilchenphysik, wo kontravariante und kovariante Tensoren verwendet werden nd Bestellung erscheinen täglich.
Ihnen entgeht überhaupt nichts – es ist einfach eine schlampige Notation, und die Leute, die es tun, wollen sich einfach nicht die Mühe machen, die Abstände richtig einzugeben.
Ihnen fehlt jedoch etwas über den Fall symmetrischer Tensoren. In diesem Fall gibt es keine Mehrdeutigkeit: Ein oberer Index transformiert sich durch Kontraktion gegen den unteren Index von , während sich ein niedrigerer Index durch Kontraktion gegen den oberen Index von transformiert .
Du denkst vielleicht, dass es einen Unterschied macht, wenn du die Kontraktion als Matrixmultiplikation schreiben möchtest. Aber die Matrizenmultiplikation ist nichts weiter als ein Trick, um sich an die allgemeinen Regeln zu erinnern, die ich gerade gesagt habe, und zwar an eine ziemlich begrenzte. Es mag stimmen, dass sich die Matrixmultiplikationsdarstellung zwischen den beiden von Ihnen angegebenen Fällen unterscheidet, aber das bedeutet nur, dass sie unnötige Komplikationen hinzufügt. Die Transformationsregel in Indexnotation ist die eigentliche Definition und eindeutig.