Zerlegung des Torsionstensors

Siehe Aktualisierung unten.

Betrachten Sie den Torsionstensor$T_{\mu\nu\rho} = -T_{\mu\rho\nu}$. In einem lokalen Lorentzrahmen, bestimmt durch ein Vierbein$e^{a}{}_{\mu}$, es kann äquivalent als angegeben werden$T_{abc} = e^{\mu}{}_{a}e^{\nu}{}_{b}e^{\rho}{}_{c}T_{\mu\nu\rho}$. Unter Lorentz-Transformationen transformiert sich dieser Lorentz-Tensor dritten Ranges in die

$$\begin{align} (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \otimes ((1,0) \oplus(0,1)) = (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \oplus (\frac{3}{2},\frac{1}{2}) \oplus (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \oplus (\frac{1}{2},\frac{3}{2}) \end{align}$$ Lorentz-Vertretung. Die Zwei $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$entsprechen den Vektor- bzw. axialen Vektorteilen, die durch gegeben sind $V^{def}_{abc}T_{def}$Und $A^{def}_{abc}T_{def}$, wobei die folgenden Projektionsoperatoren eingeführt werden (jeder offensichtlich antisymmetrisch in beiden $bc$Und $ef$): $$\begin{align} V^{def}_{abc} & \equiv \frac{1}{6}\eta^{de}(\eta_{ab}\delta^{f}_{c} - \eta_{ac}\delta^{f}_{b}) - \frac{1}{6}\eta^{df}(\eta_{ab}\delta^{e}_{c} - \eta_{ac}\delta^{e}_{b}), \\ A^{def}_{abc} & \equiv \frac{1}{6}\delta^{def}_{abc}, \end{align}$$ Wo $\eta_{ab}$ist die Minkowski-Metrik, und $\delta^{def}_{abc}$ist ein verallgemeinertes Kronecker-Delta. Der $(\frac{3}{2},\frac{1}{2}) \oplus (\frac{1}{2},\frac{3}{2})$Teil wird durch gegeben $Q^{def}_{abc}T_{def} \equiv T_{abc} - (V^{def}_{abc} + A^{def}_{abc})T_{def}$, definiert den Projektionsoperator $Q^{def}_{abc}$. Ich habe das überprüft $V^{def}_{abc}$, $A^{def}_{abc}$, Und $Q^{def}_{abc}$bilden zusammen eine richtige Projektionsalgebra hinsichtlich Idempotenz, Orthogonalität und Vollständigkeit. Aber meine Frage ist folgende:

Frage: Wie, wenn irgend möglich, kann$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$Und$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$individuell projiziert werden? Was sind die Projektionsoperatoren, falls vorhanden? Erfordert es, wenn möglich, in den komplexen Bereich zu gehen, in Analogie zur Zerlegung, sagen wir, des Faraday-Tensors in die selbst-dualen und anti-selbst-dualen Teile$(1,0)$Und$(0,1)$?

Ich frage, weil ich die Form solcher Projektionsoperatoren nicht identifizieren kann. Ich habe versucht, den Levi-Civita-Tensor zu verwenden, um einige selbst-duale und anti-selbst-duale Projektionsoperatoren (über den komplexen Bereich) zu konstruieren, wobei ich die letzten beiden Indizes von doppelt kontrahiere$Q^{def}_{abc}T_{def}$, aber die resultierenden Operatoren sind nicht einmal einzeln idempotent.

PS: Jeder relevante oder hilfreiche Link wird natürlich geschätzt.

Update: Ich glaube, ich habe es selbst gelöst. Ich glaube, die begehrten Projektionsoperatoren,$(Q_{\pm})^{def}_{abc}$sagen, projizieren$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$Und$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$sind gegeben durch

$$\begin{align} (Q_{\pm})^{def}_{abc} = \frac{1}{2}Q^{def}_{abc} \pm (D_{1})^{def}_{abc} \pm (D_{2})^{def}_{abc}, \end{align}$$

korrelierte Zeichen, wo

$$\begin{align} (D_{1})^{def}_{abc} &\equiv \frac{i}{6}\varepsilon_{bc}{}^{ef}\delta^{d}_{a}, \\ (D_{2})^{def}_{abc} &\equiv \frac{i}{12}(\varepsilon_{ab}{}^{de}\delta^{f}_{c} - \varepsilon_{ac}{}^{de}\delta^{f}_{b} - \varepsilon_{ab}{}^{df}\delta^{e}_{c} + \varepsilon_{ac}{}^{df}\delta^{e}_{b}). \end{align}$$

Was die anderen Projektionsoperatoren in diesem Beitrag betrifft, so wurden diese Projektionsoperatoren in einer Form geschrieben, in der sie in beiden offensichtlich antisymmetrisch sind$bc$Und$ef$.