Warum konstruieren wir keinen Spin 1/4 Spinor?

Question

Warum konstruieren wir keinen Spin 1/4 Spinor?

Physik
Quanten-Spin
Lorentz-Symmetrie
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

ZHANG Juenjie

Ich lerne Quantenfeldtheorie. Ich verstehe, dass die Lösung der Dirac-Gleichung vier Zustände hat und jeder einem Spinor entspricht. Diese vier Zustände sind genau die Eigenzustände des Spinoperators und ihre Eigenwerte sind +1/2 oder -1/2. Aber es scheint, dass ich einen anderen Operator (Matrix) konstruieren kann, vielleicht 8 mal 8 oder einige andere Dimensionen. Die entsprechenden Eigenwerte dieser Matrix können natürlich 1/4, 1/2, 3/4 usw. sein. Mit diesen Eigenzuständen kann ich auch eine Formel konstruieren und die Eigenzustände zur Lösung dieser Formel machen. Dann kann ich einen Spin 1/4 Spinor haben. Ich verstehe nicht, warum die Dirac-Gleichung so besonders sein kann.

QMechaniker

Hallo ZHANG Juenjie, ich habe deine anderen Teilfragen entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.

Suzu Hirose

Was ist die physikalische Bedeutung des 1/4 Spinors?

ZHANG Juenjie

@ Suzu Hirose Keine physikalische Bedeutung. Aber sollte der Spin mathematisch eine Bedeutung haben? Ich meine, gibt es etwas tieferes hinter der Dirac-Gleichung, das die Gleichung dazu zwingt, so auszusehen, oder ist dies einfach eine Vermutungsarbeit mit Versuch und Irrtum?

Antworten (1)

Warum konstruieren wir keinen Spin 1/4 Spinor?

Hallo ZHANG Juenjie, ich habe deine anderen Teilfragen entfernt, vgl. diesen Meta-Beitrag.
@ Suzu Hirose Keine physikalische Bedeutung. Aber sollte der Spin mathematisch eine Bedeutung haben? Ich meine, gibt es etwas tieferes hinter der Dirac-Gleichung, das die Gleichung dazu zwingt, so auszusehen, oder ist dies einfach eine Vermutungsarbeit mit Versuch und Irrtum?

Prof. Legolasov · Answer 1

Spin gibt es nicht $1/4$ in der 4-dimensionalen Raumzeit.

Spin hat mit Darstellungen der Lorentz-Lie-Algebra zu tun. Lassen Sie mich also etwas Licht ins Dunkel bringen, wie diese klassifiziert werden.

Erstens die komplexwertige Lorentz-Algebra $so(1,3)$ ist äquivalent zu $so(4)$ . Das $so(4)$ Algebra ist gleich der direkten Summe von zwei Kopien von $su(2)$ , was bedeutet, dass irreduzible Darstellungen von $so(1,3)$ sind durch geordnete Paare der Irreduziblen von gekennzeichnet $su(2)$ .

Das $su(2)$ Darstellungstheorie kann in jedem Lehrbuch über Lie-Gruppen oder sogar in einigen QFT-Lehrbüchern gefunden werden. Eine der entscheidenden Tatsachen ist, dass Irreduzible von $su(2)$ sind durch nichtnegative Halbzahlen gekennzeichnet, die als Spins bezeichnet werden:

j = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2, 2, 5 / 2, \dots

$j = 0, \; 1/2, \; 1, \; 3/2, \; 2, \; 5/2, \; \dots$

Dies reicht aus, um mit der Konstruktion von Irreduziblen der Lorentz-Algebra zu beginnen. Die Grundbausteine der Darstellungstheorie sind die beiden Grunddarstellungen $(1/2, 0)$ und $(0, 1/2)$ die als linker bzw. rechter Weyl-Spinor bezeichnet werden. Beide sind zweidimensional.

Dirac-Spinoren gehören eigentlich zur 4-dimensionalen reduzierbaren Darstellung

(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2) .

$(1/2, 0) \oplus (0, 1/2).$

Eine weitere 4-dimensionale Darstellung ist das Irreduzible $(1/2, 1/2)$ zu denen die 4-Vektoren gehören.

Wie Sie sehen können, ist dies alles nur Darstellungstheorie und es gibt keine Spin- $1/4$ Darstellung in 4 Raumzeitdimensionen.

Allerdings hinein $2$ Raumzeitdimensionen ist dies nicht mehr gültig und es gibt Darstellungen mit gebrochenen Spins.

Es scheint, dass die Schlüssel 1 sind. SO(4) ist äquivalent zu SU(2); 2. Irreduzible von SU(2) werden durch nichtnegative halbe ganze Zahlen gekennzeichnet.
@ZHANGJuenjie ziemlich genau, ja. Mit Ausnahme des "äquivalenten" Teils: $so(4)$ entspricht den beiden Kopien von $su(2)$ .
Was meinst du mit "irreduzibel"? Könnten Sie bitte Referenzen vorschlagen? Selbst wenn ich verstehe, dass Spin 1/4 algebraisch nicht erlaubt ist, kann ich immer noch kein intuitives Gefühl dafür bekommen, wie sich dieses Ding auf Spin bezieht. Haben Sie Anregungen oder Referenzen?
@ZHANGJuenjie auch Sie missverstehen wahrscheinlich die Bedeutung von Spin- $1/2$ . Sehen Sie, das ist nur eine Konvention. Ich könnte stattdessen "Spin" nennen, was andere "Spin geteilt durch zwei" nennen, was Dirac-Spinoren zum Drehen bringen würde. $1/4$ in meiner Terminologie. Die wichtige Tatsache ist, dass es einen diskreten Satz von Irreps gibt und man keinen kleineren, aber von Null verschiedenen Spin als den von Dirac-Spinoren erreichen kann.
@Solenodon Paradoxus Ungefähr zu Ihrer letzten Anmerkung bedeutet dies, dass unter der Annahme, dass die Lorentz-Algebra (oder Invarianz?) Der zweidimensionale Fall des Dirac-Felds verschwindet?
Obwohl der Geist dieser Antwort richtig ist, sollten Sie vorsichtig sein, wenn Sie sagen, dass die Algebren "äquivalent" sind. Richtig ist, dass die endlichdimensionalen Darstellungen von $\mathfrak{so}(1,3)$ und $\mathfrak{so}(4) = \mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$ sind gleich. Die Theorie der unendlichdimensionalen einheitlichen Darstellung (wie sie für die Klassifizierung von Teilchen nach Wigner benötigt wird) ist jedoch nicht dieselbe, sodass sie nicht für alle physikalischen Zwecke gleichwertig sind.

Warum konstruieren wir keinen Spin 1/4 Spinor?

ZHANG Juenjie

QMechaniker

Suzu Hirose

ZHANG Juenjie

Antworten (1)

Prof. Legolasov

ZHANG Juenjie

Prof. Legolasov

ZHANG Juenjie

Prof. Legolasov

Benutzer.3710634

ACuriousMind

Wie hängt die Lorentz-Gruppe mit dem Spin zusammen? [geschlossen]

Zweifel an Wigners Einstufung

Wie hängen Quantenfelder mit Darstellungen der Lorentz-Gruppe zusammen?

Lorentzalgebra und ihre Generatoren

Warum beschränken wir die maximale Aufladung auf 32?

Pauli-Lubanski-Operator und Spin-Drehimpulsoperator

Direktes Produkt vs. Tensorprodukt

Zerlegung des Torsionstensors

Vektorräume für die irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe

Warum sagen viele Leute, dass Vektorfelder Spin-1-Partikel beschreiben, aber den Spin-0-Teil weglassen?