Wie hängen Quantenfelder mit Darstellungen der Lorentz-Gruppe zusammen?

Ich werde versuchen, nur Frage 1 über die Beziehung zwischen den Operatorfeldern und den einzelnen Teilchenzuständen zu beantworten. Ich war hauptsächlich daran interessiert, QED zu verstehen, und habe daher nicht viel über geladene Skalare nachgedacht, sodass ich Frage 2 derzeit nicht beantworten kann.

Warum stellen wir Spin-0-Teilchen als Skalarfelder, Spin-1/2-Teilchen als Spinoren und Spin-1-Teilchen als 4-Vektoren dar?

Die Gesetze der Physik sind in allen Inertialsystemen gleich und daher müssen sich klassische Felder unter der homogenen Lorentz-Gruppe SO(1,3) transformieren. Die einfachsten Körper sollten daher irreduzible Darstellungen von SO(1,3) sein. Es ist sehr chaotisch, die Irreps von SO (1,3) zu finden, aber es ist viel einfacher, die Irreps der doppelten Abdeckung der Lorentz-Gruppe zu erhalten, die die spezielle (Einheitsdeterminante) lineare Gruppe von ist$2\times 2$komplexe Matrizen SL(2,C). Glücklicherweise mag die Natur auch SL(2,C). Die endlichdimensionalen Irreps von SL(2,C) sind vollständig symmetrische Weyl-Spinoren der Form$\psi^{AB\ldots C}$wo die Indizes$A,B,\ldots,C$Werte nehmen${1,2}$. Die endlichdimensionalen Irreps von SL(2,C) sind ebenfalls komplex konjugierte Felder, die mit gepunkteten Indizes geschrieben werden (Van-der-Waerden-Notation).$\chi_{\dot{A}\dot{B}\dots\dot{C}}$Um uns daran zu erinnern, dass ihre Transformationsmatrizen die komplex konjugierten sind.

Ein vollständig symmetrischer Weyl-Spinor mit$m$Indizes hat$m+1$unabhängige Komponenten. Also ein Weyl-Spinorfeld$\psi^{A}$hat zwei Komponenten und repräsentiert einen Spin 1/2, ein symmetrisches Spinorfeld$\psi^{AB}$hat drei Komponenten und stellt einen Spin 1 dar. Die Weyl-Spinoren sind unter Parität nicht invariant. Um also paritätsinvariante Felder zu machen, benötigt man die direkte Summe eines Felds und eines, das unter der komplexen konjugierten Transformation transformiert wird. Das paritätsinvariante Elektronenfeld hat die Form$\psi^{A}\oplus\chi^{\dot{B}}$. Diese hat vier unabhängige Komponenten. Wenn es als Spaltenvektor mit vier Komponenten gestapelt wird, ist es ein Dirac-Spinorfeld. Das paritätsinvariante Photonenfeld hat die Form$\psi^{AB}\oplus\psi^{*}_{\dot{A}\dot{B}}$. Die drei unabhängigen Komplexkomponenten von$\psi^{AB}$stehen in linearem Zusammenhang mit den sechs Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder$E^{i}$Und$B^{i}$.

Es ist sehr einfach, die Bewegungsgleichungen für diese klassischen Felder aufzustellen – es gibt wirklich keinen Platz für Vermutungen. Der Operator von 4-Impuls ist$\hat{p}_{\mu}=i\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. Der 4-Impuls-Operator in Weyl-Spinor-Notation ist$\hat{p}^{\dot{A}}_{B}=\hat{p}^{\mu}[\sigma_{\mu}]^{\dot{A}}_{B}$wo die vier$2\times 2$Matrizen$\sigma_{\mu}$sind die Pauli-Matrizen. Die Dirac-Gleichung für das Elektronenfeld lautet:

$$\begin{eqnarray*} \hat{p}^{\dot{A}}_{B}\psi^{B}=m\chi^{\dot{A}}\\ \hat{p}^{A}_{\dot{B}}\chi^{\dot{B}}=m\psi^{A} \end{eqnarray*}$$ Die Maxwell-Gleichungen für das Photonenfeld lauten: $$\begin{equation} \hat{p}^{\dot{A}}_{B}\psi^{BC}=0 \end{equation}$$ Der Zweck der Dirac-Gleichung besteht darin, den Impuls auf die Schale zu zwingen $p^{\mu}p_{\mu}=m^{2}$. Der Zweck der Maxwellschen Gleichungen besteht darin, die sechs reellen Freiheitsgrade des Photonenfeldes zu reduzieren $\psi^{AB}$zu den beiden Helizitätsfreiheitsgraden eines Photons.

Die kurze Antwort auf die Frage lautet, dass die Felder aus irreduziblen Darstellungen der doppelten Überdeckung der homogenen Lorentzgruppe SL(2,C) bestehen müssen.

Wie hängen diese Felder mit den Ein-Teilchen-Zuständen des Hilbert-Raums zusammen?

Schreiben wir die einzelnen Teilchenzustände als$|p,\lambda\rangle$Wo$p$ist Schwung und$\lambda$ist Helizität. Für ein massives Teilchen Helizität$\lambda$ist die entlang des 3-Impulsvektors des Teilchens gemessene Spinkomponente. Für ein massives Teilchen mit Spin 1/2 nimmt die Helizität Werte an$\lambda=-1/2,+1/2$. Für ein massives Teilchen mit Spin 1 nimmt die Helizität Werte an$\lambda=-1,0,+1$. Mit der Helizität lässt es sich besser arbeiten als mit der z-Komponente des Spins im Ruhesystem des Teilchens, da die Helizität bei einer Drehung des Teilchens invariant ist und auch die Helizität bei einem Schub entlang der Richtung des 3-Impulses des Teilchens invariant ist.

Ich habe über diese Frage für Elektronen nachgedacht, also werde ich diesen Fall in Betracht ziehen. Das klassische Elektronenfeld ist ein Dirac-Spinor$\psi^{a}(x^{\mu})$wo der index$a=1,2,3,4$bezeichnet die vier Komponenten des Dirac-Spinors. Wenn wir zur Quantentheorie übergehen, wird dieses Feld zu einem Operatorfeld$\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})$. Dieses Operatorfeld hat eine Erweiterung in Bezug auf Emissions- und Absorptionsoperatoren für Elektronen und Positronen,

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\left(\phi^{a}_{\lambda}(p)\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)e^{-i\omega t}+\text{ positron emission terms}\right)e^{ip^{r}x^{r}} \end{equation}$$ bei dem die $\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)$sind Absorptionsoperatoren für Elektronen mit 3-Impuls $p$und Helizität $\lambda$in der Schrödinger-Darstellung (zeitunabhängige Operatoren) und $\phi^{a}_{\lambda}(p)$ist eine ebene Wellenlösung der Dirac-Gleichung und $\omega=p^{0}$(Energie). Wir können die einzelnen Teilchenzustände einbringen, indem wir den Operator lassen $\hat{\psi}^{\dagger}(x)$wirken auf den Vakuumzustand $|S\rangle$. $$\begin{equation} \hat{\psi}^{\dagger a}(x^{\mu})|S\rangle=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\phi^{\dagger a}_{\lambda}(p)|p,\lambda\rangle e^{ip_{\mu}x^{\mu}} \end{equation}$$ Nehmen Sie der Einfachheit halber das hermitesche Konjugat, um zum Elektronenfeld zurückzukehren. $$\begin{equation} \langle S|\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\phi^{a}_{\lambda}(p)e^{-ip_{\mu}x^{\mu}}\langle p,\lambda | \end{equation}$$ Führen Sie die Basiszustände ein $\langle S|\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\langle x^{\mu}, a|$. Die obige Gleichung ist eine Koordinatentransformation zwischen den Einzelteilchen-Basiszuständen $\langle p,\lambda|$und die neuen Basiszustände $\langle x^{\mu},a|$beschriftet durch den Raumzeitpunkt $x^{\mu}$und der Dirac-Spinor-Index $a$. Die Koordinatentransformation kann transparenter geschrieben werden als: $$\begin{equation} \langle x,a|=[T^{-1}]^{(x,a)}_{\ \ \ \ \ (p,\lambda)}\langle p,\lambda| \end{equation}$$ Wo $(x,a)$Und $(p,\lambda)$sind zusammengesetzte Etiketten und $T^{-1}$ist die Transformationsmatrix von der Einzelteilchenzustandsbasis zur Spinorfeldbasis. Die Matrixelemente der Transformation sind $$\begin{equation} \langle x,a|p,\lambda\rangle=[T^{-1}]^{(x,a)}_{\ \ \ \ \ (p,\lambda)}=\frac{\sqrt{m}}{(2\pi)^{3/2}}\phi^{a}_{\lambda}(p)e^{-ip_{\mu}x^{\mu}} \end{equation}$$ Bei der Transformation verwendet die Summe über die Impulsbeschriftungen das Maß der Lorentz-Invariante $d^{3}p/(2p^{0})$.

Zusammenfassend ist das Elektronenoperatorfeld im Wesentlichen eine Basis von Zuständen, die durch eine Koordinatentransformation mit den Einzelteilchen-Basiszuständen in Beziehung stehen. Mit anderen Worten, das Elektronenoperatorfeld und die Einzelteilchenzustände sind äquivalente Darstellungen der Poincare-Gruppe. Ich habe dieses Zeug aus Abschnitt 10.5.3, Seite 207 von "Group Theory in Physics" von Wu-Ki Tung gelernt.

Nach der Quantisierung werden Felder zu Operatoren und der Vektorraum, in dem sie agieren, besteht nun aus den Ein-Teilchen-Zuständen?

Julian Rey hat die obige Frage im Kommentarbereich gestellt. Ich habe mich entschieden, meine Antwort zu erweitern, da es schwierig ist, diesen zusätzlichen Punkt in einem Kommentar zu beantworten.

Der Emissionsoperator für ein Elektron im Impulszustand$p$und Helizität$\lambda$Ist$\hat{\eta}_{p,\lambda}$. Mit anderen Worten, wenn der Bediener auf das Vakuum einwirkt$|S\rangle$wir erhalten den Einteilchenzustand$|p,\lambda\rangle=\hat{\eta}_{p,\lambda}|S\rangle$. Diese Emissionsoperatoren tun nichts anderes, als auf das Vakuum einzuwirken, also können wir genauso gut den Vakuumzustand fallen lassen und einfach die Äquivalenz registrieren$\hat{\eta}_{p,\lambda}\sim |p,\lambda\rangle$. Die Elektronenemissionsoperatoren sind gleichbedeutend mit den Einzelteilchen-Elektronenzuständen. Folglich ist die zuvor angegebene Erweiterung des Elektronenoperatorfeldes in Bezug auf die Emissions- und Absorptionsoperatoren

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\left(\phi^{a}_{\lambda}(p)\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)e^{-i\omega t}+\text{ positron emission terms}\right)e^{ip^{r}x^{r}} \end{equation}$$ bedeutet wirklich, dass das Elektron-Operatorfeld eine lineare Kombination von Einzelteilchenzuständen ist. Das Elektronenoperatorfeld $\hat{\psi}^{a}(x)$ist wirklich eine unendliche Menge von Basisvektoren $\hat{\psi}^{a}(x)\sim |x,a\rangle$(Ignorieren von Positronen zur Vereinfachung des Arguments), die denselben Raum überspannen wie die Einzelteilchenzustände. Die Antwort auf die Frage ist negativ; das Operatorfeld wirkt nicht auf die einzelnen Teilchenzustände, das Operatorfeld ist nur ein weiterer Satz von Basisvektoren, die den Raum der einzelnen Teilchenzustände überspannen.

Die Operatorfelder spielen in der Theorie eine weitere Rolle – sie können miteinander multipliziert werden, um Polynome zu bilden, die Mehrteilchenzustände erzeugen.