Welche Art von Teilchen entspricht der (1,1/2)(1,1/2)(1,1/2)-Darstellung der Lorentz-Gruppe?

Jede irreduzible massive einheitliche Darstellung der Poincaré-Gruppe ist durch eine Masse und einen nicht negativen halbzahligen Spin spezifiziert. Jede masselose irreduzible einheitliche Darstellung der Poincaré-Gruppe ist durch eine halbzahlige Helizität spezifiziert. Dies wurde von Wigner bewiesen.

Jede endlichdimensionale irreduzible Darstellung der Poincaré-Gruppe ist durch zwei nicht negative halbe ganze Zahlen gegeben$(j_1, j_2)$.

Wir kümmern uns um einheitliche Darstellungen der Poincaré-Gruppe, wenn wir über Teilchenzustände sprechen, und wir kümmern uns um endlichdimensionale Darstellungen der Lorentz-Gruppe, wenn wir über Feldoperatoren und die Konstruktion von Lagrange-Operatoren sprechen.

Ich weiß, dass es keine 1:1-Korrespondenz zwischen den beiden gibt. Zum Beispiel angeben$(j_1, j_2)$sagt Ihnen nicht, wie groß die Masse der Teilchen in Ihrem Spektrum ist. Es gibt jedoch immer noch einige Beziehungen zwischen den beiden.

Nehmen Sie zum Beispiel die Dirac-Darstellung$(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})$. Wenn es in der Lagrange-Funktion keinen Massenterm gibt, gibt es vier Teilchen im Spektrum: masselose rechts- und linkshändige Weyl-Teilchen/Anti-Teilchen, jedes mit einer Helizität$h = \pm \tfrac{1}{2}$. Wenn es einen Massenterm gibt, dann gibt es nur zwei unabhängige Teilchen, den massiven Spin$\tfrac{1}{2}$Teilchen und Antiteilchen.

Es gibt also eindeutig eine Beziehung zwischen den$(j_1, j_2)$Darstellung der Lorentz-Gruppe und die entsprechende unitäre Darstellung der Poincaré-Gruppe. Aber diese Beziehung ist verwirrend, und ich verstehe nicht, wie sie im Allgemeinen funktioniert.

Nehmen wir die$(1, \tfrac{1}{2})$Vertretung zum Beispiel. Welcher Art von Teilchen entspricht das überhaupt? Ich konstruierte die Darstellung und betrachtete sie dann, wenn ich mich auf die beschränkte$SO(3)$Untergruppe. Einmal eingeschränkt, die$(1, \tfrac{1}{2})$brach auf$\tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2}$. Stellen wir uns vor, dass diese Teilchen masselos sind. Entspricht es sechs masselosen Teilchen mit Helicitäten ?$\tfrac{3}{2}, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{3}{2}, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}$? Können diese Teilchen durch eine Art Verallgemeinerung des Majorana-Verfahrens massiv gemacht werden? Würden dann nur zwei massive Teilchen einem Spin entsprechen$\tfrac{3}{2}$und eine Drehung$\tfrac{1}{2}$?

Es erscheint mir sehr seltsam, dass es bei der Lorentz-Gruppe eine nicht reduzierbare, nicht triviale Möglichkeit gibt, wie die Rotationen mit den Boosts interagieren, aber bei der Poincaré-Gruppe ist dies nicht der Fall.

Ich nehme an, meine allgemeine Frage ist, was die möglichen Teilchendarstellungen sind, die aus a geboren werden können$(j_1, j_2)$Feldvertretung?