Bedeutung von Lorentz-Generatoren

Question

Bedeutung von Lorentz-Generatoren

Physik
Lügen-Algebra
Feldtheorie
Lorentz-Symmetrie
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

Maxime

Ich versuche, infinitesimale Lorentz-Transformationen in der Quantenfeldtheorie zu verstehen. Ich habe etwas Lie-Theorie von Mathematikern studiert, aber ich habe Probleme, mich konzeptionell darauf einzustellen, wie Lie-Algebren tatsächlich in der theoretischen Physik verwendet werden.

Das Buch, das ich gerade lese, stellt die hermitischen Generatoren vor:
$L_{μ v} = ich (x_{μ} \partial_{v} - x_{v} \partial_{μ})$ $L_{\mu \nu} = i(x_{\mu} \partial_{\nu} - x_{\nu} \partial_{\mu})$ und verwendet diese dann, um eine infinitesimale Lorentz-Transformation auszudrücken $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ . Das Problem ist, dass ich eher an Symbole mit griechischen Indizes denke (wie z $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ und $L_{\mu \nu}$ ) als Lorentz-Tensoren, dh wie Matrizen, während $L_{\mu \nu}$ scheint eine Art Differentialoperator zu sein, der auf Felder wirkt? Wie können wir dann den Tensor schreiben $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ in Bezug auf diese $L_{\mu \nu}$ ?
Das Buch fährt fort zu sagen, dass die $L_{\mu \nu}$ bilden die Lie-Algebra von $SO(3,1)$ und dass die allgemeinste Darstellung dieser Lie-Algebra die Form hat:
$M_{μ v} = L_{μ v} + S_{μ v}$ $M_{\mu \nu} = L_{\mu \nu} + S_{\mu \nu}$ wo $S_{\mu \nu}$ sind hermitesche Operatoren und erfüllen die gleichen Kommutierungsbeziehungen wie die $L_{\mu \nu}$ und mit ihnen pendeln. Mir wurde jedoch beigebracht, eine allgemeine Darstellung einer Lie-Algebra so zu denken, dass sie auf einem beliebigen Hilbert-Raum wirkt. Also wie soll ich mir das vorstellen $S_{\mu \nu}$ als Tensor, und wie macht es Sinn, hinzuzufügen $S_{\mu \nu}$ zu $L_{\mu \nu}$ ?

Prof. Legolasov

Λ_{ν}^{μ} = \exp (\frac{i}{2} Ω^{α β} {[J_{α β}]}_{ν}^{μ})

$\Lambda^{\mu}_{\;\nu} = \exp \left( \frac{i}{2} \Omega^{\alpha \beta} \left[ J_{\alpha \beta} \right] ^{\mu} _{\;\nu} \right)$ wo

\exp

$\exp$ ist Matrix exponentiell und

Ω^{α β}

$\Omega^{\alpha \beta}$ ist eine Sammlung von 6 Parametern (antisymmetrischer Tensor), die die konkrete Lorentz-Transformation beschreiben.

Daniel

@SolenodonParadoxus Sie sollten auch definieren

[J_{α β}]^{μ}_{ν}

$[J_{\alpha\beta}]^\mu{}_\nu$ für eine vollständigere Erklärung.

Maxime

@SolenodonParadoxus Das ist nicht wirklich eine Erklärung: so

(J_{α β})_{μ ν}

$(J_{\alpha \beta})_{\mu \nu}$ sind immer noch eine Art Differentialoperatoren, aber

Λ_{ν}^{μ}

$\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ ist eine Art Matrix? Wie funktioniert

\exp

$\exp$ zwischen diesen konvertieren?

Christoph

@user73426: en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map_(Lie_theory)

Antworten (1)

Bedeutung von Lorentz-Generatoren

$\Lambda^{\mu}_{\;\nu} = \exp \left( \frac{i}{2} \Omega^{\alpha \beta} \left[ J_{\alpha \beta} \right] ^{\mu} _{\;\nu} \right)$ wo $\exp$ ist Matrix exponentiell und $\Omega^{\alpha \beta}$ ist eine Sammlung von 6 Parametern (antisymmetrischer Tensor), die die konkrete Lorentz-Transformation beschreiben.
@SolenodonParadoxus Sie sollten auch definieren $[J_{\alpha\beta}]^\mu{}_\nu$ für eine vollständigere Erklärung.
@SolenodonParadoxus Das ist nicht wirklich eine Erklärung: so $(J_{\alpha \beta})_{\mu \nu}$ sind immer noch eine Art Differentialoperatoren, aber $\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}$ ist eine Art Matrix? Wie funktioniert $\exp$ zwischen diesen konvertieren?
@user73426: en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map_(Lie_theory)

ACuriousMind · Answer 1

Das $L_{\mu\nu}$ sind infinitesimale Generatoren der Lorentz-Transformation auf dem Raum von Feldern/Funktionen . Wenn Sie sie als Operatoren auf einem Hilbert-Raum betrachten möchten, betrachten Sie einfach den Hilbert-Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Die Kommutatoren der $L_{\mu\nu}$ sind die Vertauschungsrelationen der Lie-Algebra $\mathfrak{so}(1,3)$ , also bilden sie eine Darstellung der Algebra.

Die griechischen Indizes bedeuten das tatsächlich $L_{\mu\nu}$ ist ein Lorentz-Tensor - prüfe einfach, was damit unter der Transformation passiert $x\mapsto \Lambda x$ . Sie erzeugen tatsächlich Lorentz-Transformationen in dem Sinne, dass, wenn Sie die anzeigen $L_{\mu\nu}$ als Vektorfelder im Minkowksi-Raum $\mathbb{R}^{1,3}$ , dann haben die Integralkurven dieser Vektorfelder die Form $x(t) = \Lambda(t)x_0$ , wo $\Lambda(t)$ ist eine Lorentz-Transformation, die auf den beliebigen Startpunkt wirkt $x_0$ der Integralkurve. Dies wird auch im Wikipedia-Artikel zur Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe näher erläutert .
Sie sollten diese Summe als Summe auf einem Tensorprodukt lesen. Sie haben die "natürliche" Darstellung der $L_{\mu\nu}$ auf dem Raum der Funktionen, und jetzt können Sie in der Quantenmechanik zusätzlich "interne" Spin-Freiheitsgrade haben, zum Beispiel ein spinorwertiges Feld wie ein Dirac-Spinorfeld. Dann nehmen Sie Ihren Raum der reellwertigen Funktionen $F$ und der Spinorraum $\mathbb{C}^4$ , bei dem die $L$ handeln $F$ und die Wirkung der Lorentz-Algebra auf $\mathbb{C}^4$ wird von der gegeben $S$ , und bilden den kombinierten Raum $F\otimes\mathbb{C}^4$ von spinorwertigen Feldern/Funktionen. Dann ist die Wirkung der Lorentz-Algebra auf diesen Raum gegeben durch $L_{\mu\nu}\otimes 1 + 1\otimes S_{\mu\nu}$ , was oft schlampig geschrieben wird $L+S$ .

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