Die Ableitung der irreduziblen Darstellungen der Lorentzgruppe

Den Weg der Klassifikation von Lorentz-Gruppendarstellungen habe ich von Sexl, Urbantke, Relativity, Groups and Particles (dt. Aufl. 1975) übernommen. Aber ich verstehe es nicht, wie ich im Folgenden skizziere:

In der reellen Lie-Algebra der Lorentzgruppe gelten folgende Vertauschungsrelationen:$[ M_\mu, M_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} M_\lambda$,$[ N_\mu, N_\nu] =-\epsilon_{\mu\nu\lambda} M_\lambda$Und$[ N_\mu, N_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} N_\lambda$.

Ein infinitesimales Lorentz-Gruppenelement ist gegeben durch$Id +\vec{\alpha}\bf{M}+\vec{v}\bf{N}$,$\vec{\alpha}$Und$\vec{v}$(Rotationsvektor und Geschwindigkeitsvektor, Lichtgeschwindigkeit c=1) sind reelle Parameter. Wenn eine andere Grundlage gewählt wird$M^{\pm}_\mu = \frac{1}{2}(M_\mu\pm iN_\mu)$die Vertauschungsbeziehungen gehen in folgende Beziehungen über:

$[ M^\pm_\mu, M^\pm_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} M^\pm_\lambda$, Und$[M^+_\mu, M^-_\nu]=0$.

Dies ist die Lie-Algebra der direkten Summe$so(3)\oplus so(3)$(oder$su(2) \oplus su(2)$wenn Sie möchten) oder und daher sind alle irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppengruppe durch die irreduziblen Darstellungen von gegeben$SO(3) \times SO(3)$. Das Problem, das ich habe, ist, dass für dieses Argument komplexe Darstellungen der Lorentz-Gruppe durchlaufen werden müssen, da die Zerlegung der Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe nur mit komplexen Zahlen funktioniert. Ein infinitesimales Lorentzgruppenelement ist nun gegeben durch$Id + (\vec{\alpha} - i\vec{v})\bf{M}^+ (\vec{\alpha} +i\vec{v})\bf{M}^-$aber jetzt sind die Parameter komplex. An der Reduzierbarkeit von Darstellungen nach Sexl, Urbantke würde sich dadurch nichts ändern.

Eigentlich habe ich ein Gegenbeispiel: Schauen Sie sich das folgende Lorentz-Gruppenbeispiel an.

$$\left(\begin{array}{c} E'_1 \\E'_2 \\E'_3 \\B'_1 \\B'_2 \\B'_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0& 0 & 0&0\\ 0 & \gamma & 0 & 0 & 0& -\gamma v\\ 0 & 0& \gamma & 0 &\gamma v & 0\\ \gamma & 0 & 0& 1& 0 & 0\\0 & 0& \gamma v& 0 & \gamma & 0 \\ 0 & -\gamma v &0 & 0& 0& \gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} E_1 \\E_2 \\E_3 \\B_1 \\B_2 \\B_3 \end{array}\right)$$

Dies ist eine echte irreduzible Darstellung der Lorentz-Gruppe. Wenn nun jedoch komplexe Darstellungen betrachtet werden, kann die Basis in eine komplexe Basis geändert werden und innerhalb dieser Basis ist die Darstellung reduzierbar und zerfällt in 2 irreduzible komplexe Darstellungen:

$$\left(\begin{array}{c} E'_1 + iB'_1\\E'_2+iB'_2 \\E'_3+iB'_3 \\E'_1-iB'_1 \\E'_2 -iB'_2\\E'_3 -iB'_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0&0 & 0\\ 0 &\gamma & i\gamma v& 0 & 0& 0\\ 0 &-i\gamma v & \gamma & 0 &0& 0\\ 0& 0& 0& 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0& 0& \gamma & -i\gamma v \\ 0 &0& 0& 0 & i\gamma v& \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_1 + iB_1\\E_2+iB_2 \\E_3+iB_3 \\E_1-iB_1 \\E_2 -iB_2\\E_3 -iB_3\end{array}\right)$$

Mit reellen Parametern ist die Darstellung irreduzibel, während sie mit komplexen Zahlen reduzierbar ist. Das heißt, die Verwendung reeller oder komplexer Zahlen macht einen Unterschied in der Darstellungstheorie.

Daher kann ich nicht verstehen, warum Lorentz-Gruppendarstellungen (so einfach) nach dem angegebenen Argument klassifiziert werden können.

Ich habe in der Zwischenzeit gelernt, komplexe Zahlen in der Lie-Gruppentheorie zu verwenden, ist ziemlich bequem, aber in der Physik sind es fast alle Lie-Gruppen$\bf{real}$Gruppen und die$\bf{real}$Darstellungen müssen eingeordnet und verstanden werden. Ich hoffe, jemand hier hat ein tieferes Verständnis als ich und kann es mir erklären.