Von irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Algebra zu irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe

In meinen Vorlesungsnotizen heißt es, dass wir alle endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen der eigentlichen, orthochronen Lorentz-Gruppe klassifizieren müssen, um eine QFT für Teilchen mit Spin ungleich Null zu formulieren.

Dies geschieht, indem die Lorentz-Algebra durch die Eigenwerte charakterisiert wird A ( A + 1 ) Und B ( B + 1 ) des Quadrats der Operatoren

A → = 1 2 ( J → + ich K → ) B → = 1 2 ( J → − ich K → ) ,
Wo J → ist der Generator der Rotation und K → der Generator von Boosts.

Die entsprechende Darstellung der Lorentzgruppe erhält man dann, indem man die Exponentialabbildung bestimmter Operatoren wie z σ → 2 , 0 für A = 1 2 , B = 0 .

Kann A → 2 ein B → 2 als die Kasimire der Lie-Algebra zu verstehen oder haben sie etwas mit dem Begriff gemeinsam (mir fehlt hier etwas Verständnis)?

Wie kann ich garantieren, dass das Nehmen der Exponentialkarte einer irreduziblen Darstellung der Lie-Algebra eine irreduzible Darstellung in der entsprechenden Lie-Gruppe ergibt?

Ich habe eine verwandte Frage zu Mathematik gestellt - math.stackexchange.com/q/2316362 - vielleicht ist es hilfreich.
Kommentar zur Frage (v2): Sprechen Sie über die eingeschränkte Lorentz-Gruppe/Algebra oder ihre Komplexifizierung?
Ehrlich gesagt kann ich es nicht sagen. Wir sind in unserem Kurs zur theoretischen Teilchenphysik nicht so tief in die Gruppentheorie eingetaucht. Ich bin bei der Suche hier und auf Wikipedia auf diese Komplexitätssache gestoßen, konnte mich aber nicht darum kümmern. Bitte zögern Sie nicht, zu erklären, wie diese Dinge zusammenhängen!
WP nicht hilfreich?
Damit ist meine zweite Frage mehr oder weniger beantwortet. Was ich immer noch nicht verstehe, ist der Begriff dieses Teils: „Im Allgemeinen kommt aber nicht jede Darstellung der Lie-Algebra von einer Darstellung der Gruppe. Diese Tatsache liegt beispielsweise der Unterscheidung zwischen ganzzahligem Spin und halbzahligem Spin in der Quantenmechanik zugrunde. “. Dies hängt mit der projektiven Darstellung zusammen, wenn ich es richtig verstehe, aber ich verstehe den Artikel darüber nicht, da mir (wie oben erwähnt) etwas mathematischer Hintergrund fehlt. Könnten Sie versuchen, dies zu erklären oder auf eine gute Referenz verweisen?
Zwei gute Referenzen für projektive Darstellungen sind Weinbergs The Quantum Theory of Fields, Band I, Kapitel 2 , und Brian C. Halls Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Enttroduction . (Der erste ist nicht leicht zu lesen, behandelt aber unendlichdimensionale Darstellungen.) Es gibt auch eine ausführliche Version des Wikipedia-Artikels über die Darstellungen der Lorentz-Gruppe bei Wikiversity . Es folgt Halls Konstruktion.

Antworten (1)

  1. Endlichdimensional irreduzibel

    • (i) Darstellungen der doppelten Abdeckung S P ich N + ( 1 , 3 , R ) ≅ S L ( 2 , C ) der eingeschränkten Lorentz-Gruppe S Ö + ( 1 , 3 ; R ) ,

    • (ii) Darstellungen der entsprechenden Lie-Algebra S Ö ( 1 , 3 ; R ) ,

    • (iii) projektive Darstellungen der eingeschränkten Lorentz-Gruppe S Ö + ( 1 , 3 ; R ) ,

    sind alle durch zwei nicht negative Halbzahlen gekennzeichnet

    ( A , B )   ∈   1 2 N 0 × 1 2 N 0 .

    Siehe auch zB diesen Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

  2. Wenn A + B   ∈   N 0 eine ganze Zahl ist, ist es auch eine Gruppendarstellung der eingeschränkten Lorentz-Gruppe S Ö + ( 1 , 3 ; R ) selbst.

  3. A ich Und B ich , ich ∈ { 1 , 2 , 3 } , sind die 3 + 3 = 6 Generatoren der komplexen Lie-Algebra

    S Ö ( 1 , 3 ; C )   ≅   S l ( 2 , C ) A ⊕ S l ( 2 , C ) B ,
    mit quadratischen Kasimiren A → 2 Und B → 2 .

  4. Die Exponentialkarte exp : S Ö ( 1 , 3 ; R ) → S Ö + ( 1 , 3 ; R ) denn die eingeschränkte Lorentzgruppe ist surjektiv, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

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