Wie hängt die Lorentz-Gruppe mit dem Spin zusammen? [geschlossen]

Zweizeichendarstellungen der Poincare-Gruppe

Beachten Sie, dass es im Raum physikalischer Zustände verwirklichte projektive Darstellungen der Poincare-Gruppe gibt.

Nämlich für das Handeln von zwei einheitlichen Operatoren der Poincare-Gruppe können wir das aufschreiben

$$\tag 1 U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = e^{i\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})}U(\Lambda_{1}\Lambda_{2})$$ Wo $\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$heißt projektive Phase. Es stellt sich die Frage: Ist es möglich, Generatoren neu zu definieren? $P_{\mu}, J_{\mu \nu}$(letztere stellt die Algebra der Lorentz-Gruppe dar) der Poincare-Gruppe, so dass die Phase aus den Kommutierungsbeziehungen verschwindet.

Es gibt einen Satz, der besagt, dass projektive Darstellungen auf gewöhnliche reduziert werden können, wenn

1) Die Gruppe ist einfach verbunden;

2) Es gibt nur solche Lösungen für Phasen$\varphi$für die sie durch Neudefinition von Generatoren vollständig adsorbiert werden können (Phasen müssen Assoziativitätsbedingungen für Operatoren und Bianchi-Identität für Generatoren erfüllen).

Die Poincare-Gruppe erfüllt die zweite Bedingung, aber es gibt das Problem mit der ersten. Tatsächlich kann gezeigt werden, dass die Lorentz-Gruppe (ihre eigentliche Untergruppe) gerecht ist

$$\text{SO}^{\uparrow}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2}$$ Als nächstes die Topologie von $\text{SL}(2,C)$ist gleich dem von $SU(2)\times SU(2)$, welches ist $S_{3}\times S_{3}$. Erste Homotopiegruppe von $S_{3}\times S_{3}/Z_{2}$nicht Null ist und die Gruppe doppelt verbunden ist. Durch die enge Analogie hat die Poincare-Gruppe eine Topologie von $R^{4}\times S_{3}\times S_{3}/Z_{2}$(Sie müssen nur den Platz für die abelsche Übersetzungsgruppe hinzufügen $R^{4}$), die wiederum doppelt verbunden ist.

Dies führt zu der Aussage, dass die Phase nur sein kann$\pm 1$. So$(1)$nimmt die Gestalt an

$$\tag 2 U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = \pm U(\Lambda_{1}\Lambda_{2}),$$ und wir haben die Aussage, dass es eine Realisierung von Poincare (Lorentz)-Gruppendarstellungen mit zwei Vorzeichen für physikalische Zustände gibt.

Um Pflege zu vermeiden$\pm$unterzeichnen, können wir die Lorentz-Gruppe einfach auf erweitern$\text{SL}(2,C)$, wie du schon erwähnt hast.

Ihre spezielle Frage

Der vorherige Punkt meiner Antwort (Die Lorentz-Gruppe und der Spin) ist notwendig,

Lassen Sie uns also Ihre Frage beantworten, indem Sie zuvor besprochene Dinge verwenden. Wie ACuriousMind im Kommentarbereich erwähnte, gibt es keinen Isomorphismus

$$\text{SO}(3,1)\simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$$ Es gibt jedoch Isomorphismus $$\text{SO}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2} \simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)/Z_{2}$$ Lassen Sie mich den einfachen Weg beschreiben, wie Sie die zweite Gleichheit erhalten können, nämlich $$\text{SO}(3,1) \simeq \text{SU}(2)\times \text{SU}(2)/Z_{2},$$ da dies auf Ihre Frage antworten wird.

Sie haben von Generatoren der Lorentz-Gruppe ausgegangen, die Boosts,$K_{i}$, und Drehungen,$R_{i}$. Sie erfüllen Vertauschungsbeziehungen

$$[R_{i},R_{j}] = i\epsilon_{ijk}R_{k},\quad [K_{i},K_{j}] = i\epsilon_{ijk}R_{k},\quad [K_{i},R_{j}] = -i\epsilon_{ijk}K_{k}$$ Lassen Sie uns neue Operatoren einführen, $$\tag 3 P^{\pm}_{i} =\frac{1}{2}(R_{i}\pm K_{i})$$ Sie bilden die Algebra $$[P^{\pm}_{i}, P^{\pm}_{j}] = i\epsilon_{ijk}P_{k}, \quad [P_{i}^{\pm},P^{\mp}_{j}] = 0$$ So $P^{+}, P^{-}$Generatoren befriedigen $SU(2)$Gruppenalgebra. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Lorentz-Gruppe isomorph zu ist $SU(2)\times SU(2)$. Das bedeutet insbesondere, dass nur der Teil der $SU(2)\times SU(2)$Darstellungen sind eine von $SO(3,1)$. Nur wenn Sie das Argument aus dem ersten Abschnitt meiner Antwort verwenden (es gibt realisierte Zweizeichendarstellungen der Lorentz-Gruppe für die physikalischen Zustände), können Sie die Irreps der Gruppe verwenden $\text{SU}(2)\times \text{SU}(2)$zur Einordnung der physikalischen Zustände.

Irreps von$SU(2)$sind mit ganzzahliger oder halbzahliger Bezeichnung gekennzeichnet$\sigma$, und es hat Dimension$2\sigma + 1$, dh sie sind die Vektoren

$$|s\rangle = \begin{pmatrix}s_{1}\\... \\s_{2\sigma+1}\end{pmatrix} : \quad \hat{C}|s\rangle = -\sigma(\sigma +1)|s\rangle ,$$ Wo $C$ist Casimir-Operator für $SU(2)$Gruppe.

Also unabhängig von$SU(2)\times SU(2)$Gruppe kann als bezeichnet werden$(\sigma_{1},\sigma_{2})$. Schließlich haben Sie das von der Definition her

$$\frac{1}{2}(P^{+}_{i} +P^{-}_{i}) = R_{i},$$ Wo $R_{i}$Rotationsgenerator ist (und zugehörige Größe ist natürlich der Spin), und da $$\sum_{i}R_{i}^{2} = C^{2}= -S(S+1) = (\frac{1}{2}(P^{+}_{i} +P^{-}_{i}))^{2},$$ du hast das $$C^{2} = -(\sigma_{1}+\sigma_{2}+1)(\sigma_{1}+\sigma_{2}) = S(S+1)$$ Aus dieser Gleichheit ergibt sich der Spin $(\sigma_{1},\sigma_{2})$Ist $S = \sigma_{1}+\sigma_{2}$.