Pauli-Lubanski-Operator und Spin-Drehimpulsoperator

Eine Möglichkeit, den Unterschied zu erkennen, besteht darin, die Operatoren in einer 3D-Notation zu betrachten:

Die Boost-Komponenten:

$$K^i = S^{0i}, \quad i=1,2,3$$

Die Drehimpulsoperatoren

$$J^i = \epsilon_{jk}^i S^{jk}, \quad i, j, k=1,2,3$$

Die Pauli-Lubanski-Vektorzeitkomponente:

$$W^0 = \mathbf{J}\cdot \mathbf{P}$$

($\mathbf{P}$ist der Impulsoperator)

und die räumlichen Komponenten

$$\mathbf{W} = \mathbf{P}\times \mathbf{K} + E \mathbf{J}$$

($E = P^0$, die Energie). Aus dieser Darstellung ist ersichtlich, dass die räumlichen Pauli-Lubanski-Komponenten im Ruhesystem mit dem Drehimpuls im Ruhesystem, also dem Spin, zusammenfallen.

Aber die Existenz eines Ruhesystems ist exklusiv für ein massives Teilchen; und diese Deutung ist im masselosen Fall falsch. In diesem Fall gibt es kein Ruhesystem. Außerdem die Einschränkung$W^{\mu}P_{\mu} = 0$, zusammen mit der Bedingung der Maslosigkeit$P^{\mu}P_{\mu} = 0$, implizieren, dass der Pauli-Lubanski notwendigerweise proportional zum Impulsvektor ist:

$$W^{\mu} = \lambda P^{\mu}$$

Betrachtet man die Nullkomponente, so erhält man:

$$\lambda = \frac{\mathbf{J}\cdot \mathbf{P}}{E}$$

Die Helizität.

Daher fällt der Pauli-Lubansky-Vektor für ein masseloses Teilchen nicht zusammen und ist nicht proportional zum Spin.