Missbrauch von J2J2\mathbf J^2 bei der Klassifizierung von Poincare-Vertretern

$SO(1,3)$hat eine unendliche Anzahl von Darstellungen, klassifiziert durch die Casimir-Invariante$p^2$.

$SO(3)$hat auch eine unendliche Anzahl von Darstellungen, klassifiziert durch die Casimir-Invariante$\mathbf J^2$.

Da Darstellungen genau dann diffeomorph sind, wenn ihre Casimir-Invarianten gleich sind, sind wir mit dieser Klassifikationsmethode berechtigt.

Im Fall von$SO(3)$, lautet die physikalische Interpretation:

• $\mathbf J$erzeugt Drehungen des Ruhesystems des Partikels.

• $\mathbf J^2$, der Gesamtspin eines Teilchens, ist die Dimension des Vektorraums, in den wir das Teilchen eingebettet haben.

Jetzt bin ich verblüfft über die Tatsache, dass wir verwenden$\mathbf J^2$, dh Gesamtspin, zu klassifizieren$SO(1,3)$. Das ist die falsche Lie-Gruppe! Wieso ist das kein Unsinn?

$p^2$ist die richtige Casimir-Invariante - was ist damit passiert?

• Warum nicht$p^2$ausreichend? - Es ist eine Casimir-Invariante und sollte uns daher alle Klassifikationsinformationen geben (dh uns sagen, ob Wiederholungen diffeomorph sind)!

• Nehmen wir nun an, dass wir die Dinge richtig machen (dh verwerfen$\mathbf J^2$) und verwenden$p^2$Darstellungen einzuordnen.

  • Gibt es entsprechende „Fermionen“ oder „Bosonen“.$m$in diesem Fall halbe oder ganze ganzzahlige Werte annehmen?

  • Abschließend die Repräsentation$m^2=3$ist nicht isomorph zu$m^2=\pi$(Weil$p^2$ist eine Casimir-Invariante). Das gleiche mit$m^2=2$Und$m^2=2.00000001$. In den meisten Lehrbüchern zur Feldtheorie$m>0$wird als ein Fall behandelt. Es ist alles ein Blob für sie. Was?!!!