Notation für Übersetzungsgruppengeneratoren

Die Generatoren sind kovariante Vektoren in der Raumzeit. Um die Übersetzungsgeneratoren durch Matrizen darzustellen, ist die Raumzeit nach Ome ein 4-dimensionaler projektiver Raum, in dem Punkte Strahlen sind$x^{i}\in V_{5}$mit$i=0,1,2,3,4$. Angenommen, Alices Koordinaten sind$x^{i}$und Bobs sind$x'^{i}$und Alice wird entlang Bobs positiver x-Achse mit einem kleinen Boost-Parameter verstärkt$\eta$. Der Schub ist,

$$x'^{0}=x^{0}+\eta x^{1}\\ x'^{1}=x^{1}+\eta x^{0}$$ was impliziert, dass der Boost das Lie-Algebra-Element ist, $$K^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{0}\delta^{1}_{j}+\delta^{i}_{1}\delta^{0}_{j}$$ Weil, $$x'^{i}=x^{i}+\eta K^{i}_{\ j}x^{j} \ .$$ Omes Übersetzungen sind: $$[P_{k}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{k}\delta^{4}_{j}$$ bei dem die $(-i)$Faktor wurde weggelassen, weil derzeit alles klassisch ist. Unter Verwendung des Matrixkommutators für die Lie-Klammer, $$[P_{1},K]=-P_{0}$$ Die Antwort von $P_{1}$zum Schub ist, $$P'_{1}=P_{1}+\eta[P_{1},K]=P_{1}-\eta P_{0} \ .$$ Vergleichen Sie nun diese Gleichung mit der Antwort der kontravarianten Raum-Zeit-Koordinate $x^{1}$in der zweiten Gleichung oben; wenn wir daran denken $P_{1}$als Vektor in der Raumzeit transformiert es sich nicht als kontravarianter Vektor. Es ist leicht zu erkennen, dass es sich als kovarianter Vektor in transformiert $V_{5}$. Die Übersetzungsgeneratoren sind also kovariante Vektoren in der Raumzeit $P_{i}\in\tilde{V}_{5}$.