Verifikation der Poincare-Algebra

Question

Verifikation der Poincare-Algebra

Physik
Lügen-Algebra
Poincare-Symmetrie
Spezielle Relativität
Gruppendarstellungen

Regenmann

Die Generatoren der Poincare-Gruppe $P(1;3)$ sollen folgende zu verifizierende Vertauschungsrelation erfüllen:

[M^{μ v}, P^{ρ}] = ich (G^{v ρ} P^{μ} - G^{μ ρ} P^{v})

$\left[ M^{\mu\nu}, P^{\rho} \right] = i \left(g^{\nu\rho} P^{\mu} - g^{\mu\rho} P^{\nu} \right)$

Wo $M^{\mu\nu}$ sind die 6 Generatoren der Lorentz-Gruppe und $P^\mu$ sind die 4 Erzeuger der vierdimensionalen Übersetzungsgruppe $T(4)$ .

Für $\mu = 3, \nu=1, \rho=0$ die LHS wird zu: $[M^{31},P^{0}] = M^{31}P^{0} - P^{0}M^{31}$ .

Hier $M^{31} = J^2 = -J_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Und $P^0 = P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Meine Frage ist, wie kann ich multiplizieren $M^{31}$ Und $P^0$ wenn sie sind $4\times4$ Und $5\times 5$ Matrizen bzw.

Dox

In der Tat müssen Sie die abschließen

M_{a b}

$M_{ab}$ Generatoren mit Nullen, um die 5. Zeile und Spalte zu vervollständigen.

QMechaniker

Verwandte Frage von OP: physical.stackexchange.com/q/127559/2451

Regenmann

@Dox: Ich habe überlegt:

(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) \to (x^{0} + b^{0}, x^{1} + b^{1}, x^{2} + b^{2}, x^{3} + b^{3})

$(x^0, x^1, x^2, x^3) \rightarrow (x^0 + b^0, x^1+b^1, x^2+b^2, x^3+b^3)$ . Dann wandeln Sie diese Transformation in eine Matrixmultiplikation um und verwenden dann die Formel, um die Generatoren zu finden

P_{μ} = g_{μ ν} P^{ν}

$P_\mu=g_{\mu\nu}P^\nu$ . Was könnte ich noch tun, um das zu definieren

P_{μ}

$P_\mu$ richtig?

Regenmann

@Qmechanic: Ja, ich habe diese Frage gestellt. Ich war in tiefer Verwirrung!

Antworten (1)

Verifikation der Poincare-Algebra

In der Tat müssen Sie die abschließen $M_{ab}$ Generatoren mit Nullen, um die 5. Zeile und Spalte zu vervollständigen.
Verwandte Frage von OP: physical.stackexchange.com/q/127559/2451
@Dox: Ich habe überlegt: $(x^0, x^1, x^2, x^3) \rightarrow (x^0 + b^0, x^1+b^1, x^2+b^2, x^3+b^3)$ . Dann wandeln Sie diese Transformation in eine Matrixmultiplikation um und verwenden dann die Formel, um die Generatoren zu finden $P_\mu=g_{\mu\nu}P^\nu$ . Was könnte ich noch tun, um das zu definieren $P_\mu$ richtig?
@Qmechanic: Ja, ich habe diese Frage gestellt. Ich war in tiefer Verwirrung!

Dox · Answer 1

In Betracht ziehen

M_{31} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - ich & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ich & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) Und P_{0} = - ich (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$M_{31} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ and } P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

Dann verschwindet der Kommutator! Wie erwartet von $\left[ M_{31}, P_{0} \right] = i \left(g_{10} P_{3} - g_{30} P_{1} \right) = 0$ .

Wenn du nimmst

M_{01} = (\begin{matrix} 0 & ich & 0 & 0 & 0 \\ ich & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) Und P_{0} = - ich (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$M_{01} = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ and } P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$ Dann

[M_{01}, P_{0}] = - ich (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = P_{1} .

$\left[M_{01},P_0\right] = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = P_1.$

Usw!

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Dox

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Regenmann

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Dox

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