Identifizierung des Zustands von Partikeltypen mit Darstellungen der Poincare-Gruppe

Im zweiten Kapitel des ersten Bandes seiner Bücher über QFT schreibt Weinberg im letzten Absatz auf Seite 63:

Im Allgemeinen kann es möglich sein, durch Verwendung geeigneter Linearkombinationen der Ψ p , σ die zu wählen σ Etiketten so, dass die Matrix C σ ' σ ( Λ , p ) ist blockdiagonal; mit anderen Worten, damit die Ψ p , σ mit σ innerhalb eines beliebigen Blocks allein liefern eine Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe.

Er fährt fort:

Es liegt nahe, die Zustände einer bestimmten Teilchensorte mit den Komponenten einer Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe zu identifizieren, die irreduzibel ist, in dem Sinne, dass sie auf diese Weise nicht weiter zerlegt werden kann.

Meine Fragen sind:

  1. Inwiefern ist das erste Blockzitat wahr? Warum ist es möglich? Bitte skizzieren Sie einen Beweis oder verweisen Sie auf Material, das nützlich sein könnte.

  2. Worauf bezieht er sich überhaupt im zweiten Blockzitat? Ich habe dazu Material im Netz und in Physics.SE gefunden, aber ich finde keine Behandlung zu meiner Zufriedenheit. Bitte geben Sie genau an, was die Korrespondenz ist und ob sie bijektiv ist oder nicht (wie einige Berichte andeuten).

  3. Welche Beziehung besteht zwischen Weinbergs „spezifischem Teilchentyp“ und „Elementarteilchen“, die in Berichten über diese Korrespondenz verwendet werden?

  4. Was ist die Definition von "Ein-Teilchen-Zustand"? Ist diese Korrespondenz eine Möglichkeit, sie zu definieren? Wenn ja, in welcher Beziehung steht es dazu, wie wir intuitiv an solche Zustände denken? (Natürlich hängt die Antwort auf diese Frage weitgehend von der Antwort auf 2 ab, aber ich wollte nur betonen, was meine spezifische Frage ist.)

Antworten (1)

  1. Das besagt lediglich, dass man jede einheitliche Darstellung der Poincare-Gruppe (= inhomogene Lorentz-Gruppe) in irreduzible Darstellungen zerlegen kann.

  2. Er schlägt vor, die irreduziblen Darstellungen mit Elementarteilchen zu identifizieren, wie es die Analogie irreduzibel = nicht mehr zerlegbar = elementar nahelegt. Er erklärt nicht wirklich, warum es so natürlich ist (sondern behauptet es nur) - dies fasst die Erfahrung mehrerer Generationen von Teilchenphysikern zusammen: Ein einzelnes Teilchen kann bewegt, gedreht und angehoben werden, also (im flachen Raum -Zeit) muss sein Hilbert-Raum einen einheitlichen Repräsentanten der Poincare-Gruppe tragen. Das Teilchen wird als elementar behandelt, wenn diese Wiederholung irreduzibel ist, da sie nicht zerlegt werden kann. Was als elementar gilt, hängt von der Auflösung ab: In der relativistischen Chemie werden alle Kerne als Elementarteilchen behandelt, da die Poincare-Gruppe irreduzibel auf ihrem Hilbert-Raum wirkt. In der Kernphysik Kerne werden detaillierter als zusammengesetzte Teilchen mit einem viel komplexeren Hilbert-Raum und einer reduzierbaren Darstellung der Poincare-Gruppe darauf modelliert. Somit definiert Weinberg effektiv den Begriff eines Elementarteilchens (in mathematischen Modellen) als eine irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe.

  3. Im Hinblick auf Wigners Klassifizierung irreduzibler einheitlicher Darstellungen von Poincare, die Weinberg in Kapitel 5 neu hergeleitet hat, werden Elementarteilchen nach ihrer Masse und ihrem Spin in Teilchentypen eingeteilt. Der Hilbert-Raum eines elementaren Massenteilchens m > 0 und drehen s ist der Raum von 2 s + 2 -Komponentenwellenfunktionen ψ ( p ) mit p 0 = p 2 + ( m c ) 2 (Definition der Massenschale der Masse m ), mit der entsprechenden irreduziblen Darstellung der Poincare-Gruppe. (Für den masselosen Fall siehe Punkt 4 unten.) Eine einheitliche Darstellung besteht aus einem Hilbert-Raum und Operatoren auf diesem Raum, die die Gruppe (oder ein homomorphes Bild davon) erzeugen. Details siehe Kapitel B1 und B2 meiner FAQ unter http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html

Das Standardmodell verfeinert diese Klassifizierung, indem es auch die irreduzible Darstellung der Eichgruppe interner Symmetrien spezifiziert, wodurch weitere Quantenzahlen entstehen. Konservierte Quantenzahlen sind nichts anderes als Etiketten, die Ihnen sagen, welche irreduziblen Darstellungen mit dem durch diese Zahlen gekennzeichneten Teilchen verbunden sind.

  1. Ein Ein-Teilchen-Zustand ist ein Zustand im Hilbert-Raum einer irreduziblen Darstellung der Poincare-Gruppe (erweitert um die CTP-Symmetrie aus Kausalitätsgründen). Angesichts der Ergebnisse von Weinbergs Kapitel 5 besagt dies, dass Sie im Impulsraum eine Wellenfunktion haben ψ ( p ) mit 4D p auf der Masse Schale mit Masse m , und 2 s + 2 Komponenten für Spin s wenn m > 0 , aber 2 Komponenten (spinunabhängig) wenn m = 0 .

Ich glaube nicht, dass irgendjemand Weinberg beim ersten Lesen versteht; obwohl es das beste QFT-Buch ist, das es gibt, wenn Sie die tieferen Gründe dafür verstehen wollen, warum die relativistische QFT so ist, wie sie ist. Daher müssen Sie möglicherweise einige Dinge auf der Grundlage eines vorläufigen Verständnisses übernehmen, da ein richtiges Verständnis dessen, was das alles bedeutet, zumindest erfordert, dass Sie die ersten 6 Kapitel behandelt haben.

Danke für deine Antwort. Ich bin immer noch verwirrt über einige Punkte, die Sie angesprochen haben. Ist es in einer logischen Verständnisweise, wie sie Weinberg in seinem Buch sucht, eine Definition eines Elementarteilchens? Und ich habe die Korrespondenz immer noch nicht ganz verstanden. Wir haben ein System aus einem einzelnen Teilchen. Nun bilden alle seine Zustände einen Hilbert-Raum. Und wir können mit diesem Raum eine Darstellung der Poincare-Gruppe assoziieren. Ist das die Korrespondenz? Was genau ist die Entsprechung und warum assoziieren wir sie mit einem Teilchen? Was ist mit den Eigenschaften von Teilchen und Observablen im Hilbert-Raum? Ist es bijektiv oder 1 zu 1?
Und ich habe deinen Punkt 4 überhaupt nicht verstanden. Was meinen Sie mit Hilbert-Raum einer Irrep-Poincare-Gruppe? Und wie sehen das alle Teilchenphysiker als Korrespondenz? Was hat uns überhaupt dazu bewogen, an eine solche Korrespondenz zu denken?
Definition: ''Elementarteilchen = Einheitsteilchen der Symmetriegruppe des Universums''. Er ignoriert interne Symmetrien, daher ist seine Gruppe Poincare. - Der Hilbert-Raum eines Elementarteilchens der Masse m>0 und des Spins s ist der Raum der 2s+2-Komponenten-Wellenfunktionen psi(p) mit p 0 = p 2 + m 2 , mit dem entsprechenden irrep von Poincare. - Eine unitäre Darstellung besteht aus einem Hilbert-Raum und Operatoren auf diesem Raum, die die Gruppe oder ein homomorphes Bild davon erzeugen. Details siehe Kapitel B1 und B2 meiner FAQ unter www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html
Ein einzelnes Teilchen kann bewegt, gedreht und verstärkt werden, daher muss sein Hilbert-Raum einen einheitlichen Repräsentanten der Poincare-Gruppe tragen. Das Teilchen wird als elementar behandelt, wenn diese Wiederholung irreduzibel ist, da sie nicht zerlegt werden kann. Was als elementar gilt, hängt von der Auflösung ab: In der relativistischen Chemie werden alle Kerne als Elementarteilchen behandelt, da Poincare irreduzibel auf ihren Hilbert-Raum einwirkt. In der Kernphysik haben Kerne einen viel komplexeren Hilbert-Raum und sind zusammengesetzte Teilchen.
Identifizierung des Zustands von Partikeltypen mit Darstellungen der Poincare-Gruppe
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