Frage zu Weinbergs Ableitung eines Ein-Teilchen-Zustands unter der Poincare-Gruppe

Question

Frage zu Weinbergs Ableitung eines Ein-Teilchen-Zustands unter der Poincare-Gruppe

Physik
Poincare-Symmetrie
Spezielle Relativität
Quantenfeldtheorie
Quanteninterpretationen

Jäger

Ich lese QFT: Vol 1 von Weinberg und habe eine (vielleicht triviale) Frage zu einer Aussage, die er auf Seite 63 macht. Ich kann ihm zu seiner Herleitung von Gleichung (2.5.2) folgen:

P^{μ} U (Λ) | P, σ ⟩ = Λ^{μ}_{ρ} P^{ρ} U (Λ) | P, σ ⟩

$\begin{equation} P^\mu U(\Lambda) |p,\sigma \rangle = \Lambda^\mu{}_\rho p^\rho U(\Lambda) |p,\sigma \rangle \end{equation}$ wo das Etikett

σ

$\sigma$ bezeichnet neben dem Viererimpuls alle anderen Freiheitsgrade. Nun kann ich sehen, dass im Lichte der Gleichung (2.5.1) die obige Gleichung impliziert:

U (Λ) | P, σ ⟩ \propto | Λ P, σ ⟩

$\begin{equation} U(\Lambda) |p,\sigma \rangle \propto |\Lambda p,\sigma \rangle \end{equation}$ und so würde ich schreiben:

U (Λ) | P, σ ⟩ = C | Λ P, σ ⟩

$\begin{equation} U(\Lambda) |p,\sigma \rangle = C |\Lambda p,\sigma \rangle \end{equation}$ Wo

C

$C$ ist die zu bestimmende Normalisierungskonstante. Gleichung (2.5.2) impliziert jedoch nach Weinberg:

U (Λ) | P, σ ⟩ = \sum_{σ^{'}} C_{σ^{'} σ} (Λ, P) | Λ P, σ^{'} ⟩

$\begin{equation} U(\Lambda)|p,\sigma\rangle = \sum_{\sigma'} C_{\sigma' \sigma}(\Lambda,p)|\Lambda p, \sigma'\rangle \end{equation}$ Jetzt verstehe ich nicht, was die obige Gleichung genau bedeutet. Was macht

σ^{'}

$\sigma'$ darstellen und warum summieren wir darüber?

Vielen Dank im Voraus.

Antworten (1)

Frage zu Weinbergs Ableitung eines Ein-Teilchen-Zustands unter der Poincare-Gruppe

Prahar · Answer 1

Es ist falsch, das zu sagen

U (Λ) | P, σ ⟩ \propto | Λ P, σ ⟩ FALSCH!!

$U(\Lambda) \left|p,\sigma\right> \propto |\Lambda p, \sigma\rangle~~~~~~ \text{WRONG!!}$ Hier ist die richtige Logik. Betrachten Sie den Staat

U (Λ) | p, σ ⟩

$U(\Lambda) |p,\sigma\rangle$ . Wir haben gerade gezeigt (in Gl. 2.5.2), dass dieser Zustand einen Impuls-Eigenwert hat

Λ p

$\Lambda p$ . Jetzt gibt es eine ganze Reihe von Staaten mit Schwung

Λ p

$\Lambda p$ , nämlich

| Λ p, σ^{'} ⟩

$|\Lambda p, \sigma'\rangle$ für alle

σ^{'}

$\sigma'$ . Daher können wir nur diese Schlussfolgerung ziehen

U (Λ) | p, σ ⟩

$U(\Lambda) |p,\sigma\rangle$ ist eine lineare Kombination der Zustände

| Λ p, σ^{'} ⟩

$|\Lambda p, \sigma'\rangle$ . Mathematisch,

U (Λ) | P, σ ⟩ = \sum_{σ^{'}} C_{σ σ^{'}} (Λ, P) | Λ P, σ^{'} ⟩

$U(\Lambda) |p,\sigma\rangle = \sum_{\sigma'} C_{\sigma\sigma'}(\Lambda,p)|\Lambda p, \sigma'\rangle$ für irgendeine Matrix

C

$C$ wovon kann evtl. abhängen

Λ

$\Lambda$ oder

p

$p$ (oder beides)

Danke für deine Antwort. Wenn Sie sagen: "Es gibt eine ganze Reihe von Staaten mit Dynamik $\Lambda p$ ", meinen Sie eine ganze Reihe von Staaten mit genau der gleichen Dynamik, aber mit unterschiedlichen Freiheitsgraden $\sigma'$ (zum Beispiel Spin)?

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Verwechslung mit Weinbergs QFT-Buch, Band 1, Kapitel 3: Zeitübersetzung und Heisenberg-Bild

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