Ich versuche, die Quantenfeldtheorie zu lernen, und ich stecke in einem grundlegenden Punkt fest.
Was ist die Definition eines Skalaroperators in QFT? Das heißt, wie transformiert es sich bei einer Poincare-Transformation ? Warum wollen wir sie?
Sie können davon ausgehen, dass es keinen Spin usw. gibt, um die Dinge zu vereinfachen. Bitte seien Sie explizit.
Unter einer aktiven Lorentz-Transformation transformiert sich ein Skalarfeld als
Angenommen bei , das Feld hat den Wert . Jetzt drehe ich das Feld um einen Winkel - sagen wir . Wenn ich das alte Feld zu diesem Zeitpunkt auswerten würde, würde es mir einen Wert geben, der wahrscheinlich nicht der Fall ist . Um also das neue Feld in Bezug auf das alte Feld auszudrücken, muss ich den Punkt nehmen und die umgekehrte Transformation durchführen, damit das Feld "denkt", dass es sich an diesem alten Punkt befindet. Andererseits wäre es bei einer passiven Transformation, die eine Neuzuordnung unserer Koordinaten darstellt, so statt .
Ein Skalarfeld/Operator ist ein mathematisches Konstrukt. Wir "wollen" es, weil es verwendet werden kann, um reale Teilchen zu modellieren. Siehe zB Wikipedia , wo zusammengesetzte Teilchen wie Pi-Meson oder das fundamentale Teilchen Higgs-Boson durch ein skalares Feld modelliert werden können.
Wenn man von QFT einen Schritt zurückgeht, könnte ein Beispiel für ein Skalarfeld so etwas wie die Temperatur eines Raums sein, die jedem Punkt in diesem Raum eine (einzelne Komponenten-) Zahl (Temperatur) zuweist. Dies steht im Gegensatz zu einem mehrkomponentigen Vektorfeld, z. B. Luftgeschwindigkeit an jedem Punkt im selben Raum.
Wie soll sich ein solches Skalarfeld unter Rotation (als Sonderform einer Lorentz-Transformation) transformieren? Nun, wenn Sie denselben Raum nehmen und ihn um eine Achse drehen, sagen wir um Theta-Grad, ändern Sie die Temperatur an keinem Punkt in diesem Raum wirklich. Tatsächlich würden Sie den gleichen Effekt erzielen, wenn Sie stattdessen die Koordinaten um das negative Theta-Grad drehen würden. Deshalb
Warum sollte sich nun das Skalarfeld als solches für Lorentz-Transformationen transformieren und nicht irgendeine beliebige Transformation? Weil wir die Quantenmechanik (von der wir wissen, dass sie in ihrem Regime wahr ist) mit der speziellen Relativitätstheorie (von der wir wissen, dass sie in ihrem eigenen Regime wahr ist) verschmelzen wollen, um eine umfassendere Theorie zu entwickeln (die in einem breiteren Regime wahr ist, auch umfassend die anderen beiden Regime). Nun erfordert die spezielle Relativitätstheorie Lorentz-Invarianz für Skalarfelder, weil (wiederum das Temperaturbeispiel verwendend) zwei Beobachter, die unterschiedliche Koordinaten x und x' verwenden, sich auf die Temperatur des gleichen Punktes im Raum einigen sollten, obwohl sie durch zwei unterschiedliche Koordinatensysteme x und ausgedrückt wird
Kyle Kanos