Generatoren von Poincare-Gruppen

Die allgemeine Idee.

Beschränken wir die Diskussion der Einfachheit halber auf Matrix-Lie-Gruppen. Bestimmung der Erzeuger einer gegebenen Lie-Gruppe$G$bedeutet einfach (per Definition) das Bestimmen einer Basis für seine Lie-Algebra$\mathfrak g$. Hier ist eine Standardmethode, um eine solche Basis zu finden:

1. Daran erinnern, dass die Lie-Algebra$\mathfrak g$einer Matrix-Lie-Gruppe$G$ist definiert als die Menge aller Matrizen$X$wofür$e^{s X}$ist ein Element von$G$für alle reellen Zahlen$s$.

2. Verwenden Sie die Eigenschaften von Elementen von$G$um die Elemente einzuschränken$X$; die resultierenden zulässigen Elemente$X$sind genau die Elemente der Lie-Algebra$\mathfrak g$was ein Vektorraum von Matrizen ist.

3. Bestimmen Sie eine Basis für diesen resultierenden Vektorraum.

Ein Beispiel:$\mathrm{SO}(2)$.

Elemente der Rotationsgruppe in zwei Dimensionen sind genau diese$2\times 2$echte Matrizen$R$wofür

$$\begin{align} R^tR = I, \qquad \det R = 1. \end{align}$$ Nun stell dir das vor $X$ist ein Element ihrer Lie-Algebra $\mathfrak{so}(2)$, dann $e^{sX}$ist ein Element von $\mathrm{SO}(2)$was bedeutet, dass $$\begin{align} e^{s X} (e^{sX})^t = I, \qquad \det (e^{sX}) = 1 \end{align}$$ für alle $s\in\mathbb R$. Jetzt verwenden wir die Tatsachen, die $(e^M)^t = e^{M^t}$und $\det e^M = e^{\mathrm{tr}M}$das zu behaupten $$\begin{align} e^{s(X + X^t)} = I, \qquad e^{s(\mathrm{tr} X)} = 1 \end{align}$$ was das impliziert $$\begin{align} X = -X^t, \qquad \mathrm{tr} X = 0. \end{align}$$ Also die Lie-Algebra $\mathfrak{so}(2)$ist gegeben durch die Menge aller reellen, antisymmetrischen, spurlosen $2\times 2$Matrizen. Dies ist ein eindimensionaler Vektorraum von Matrizen, deren allgemeines Element als skalares Vielfaches von geschrieben werden kann $$\begin{align} J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ das ist also der gesuchte Generator.

Die Poincare-Gruppe.

Das gleiche Verfahren kann verwendet werden, um eine explizite Matrixform für die Generatoren der Poincare-Gruppe zu bestimmen. Denn in diesem Fall kann die Poincare-Gruppe als halbdirektes Produkt der Lorentz-Gruppe geschrieben werden$\mathrm{SO}(3,1)$mit der vierdimensionalen Übersetzungsgruppe$\mathbb R^4$findet man die Generatoren der Lorentz- und Übersetzungsgruppen der Einfachheit halber oft einzeln.

Um die Generatoren der Lorentz-Gruppe zu finden, müssen Sie einfach die analogen Eigenschaften zu verwenden$RR^t = I$und$\det R = 1$die seine Elemente definieren. In diesem Fall ist die definierende Eigenschaft beispielsweise, dass die Elemente von$\mathrm{SO}(3,1)$Erhaltung des Minkowski-Skalarprodukts;

$$\begin{align} \Lambda^\mu_{\phantom\mu\alpha} \Lambda^\nu_{\phantom\nu\beta}\eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu} \tag{$\star$} \end{align}$$ wo $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$. Dies kann in Matrixform geschrieben werden, und dann wird das gleiche Verfahren wie oben verwendet $\mathrm{SO}(2)$kann verwendet werden, um die Lie-Algebra und Generatoren zu finden.

Wie es in der Praxis von Physikern gemacht wird.

Um die oben skizzierte Algebra anhand der Invarianzbedingung zu bestimmen$(\star)$, schreiben Physiker ein Lorentz-Gruppenelement oft als

$$\begin{align} \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} = \delta^\mu_\nu + \omega^\mu_{\phantom\mu\nu} \end{align}$$ wo $\omega = (\omega^\mu_{\phantom\mu\nu})$ist eine "infinitesimale" Matrix. Beachten Sie, dass dies einfach das Gleiche ist wie das Schreiben der Matrixexponentiellen zur ersten Ordnung im Parameter $s$im obigen Verfahren und Identifizieren des Terms erster Ordnung als das Lie-Algebra-Element. Dann kann man diesen Ausdruck in die Invarianzbedingung einsetzen $(\star)$und ermittelt, welche Eigenschaften $\omega$muss gehorchen, indem Sie die Begriffe erster Ordnung vergleichen $\omega$. Dies ist äquivalent zu dem oben skizzierten Verfahren für $\mathrm{SO}(2)$, aber es ist oft rechnerisch bequemer.

Wenn Sie diese Berechnung für die Lorentz-Gruppe durchgehen, sollten Sie das finden

$$\begin{align} \omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu} \end{align}$$ wo $\omega_{\mu\nu} = \eta_{\mu\alpha}\omega^\alpha_{\phantom\alpha\nu}$.