Bleibt der Boost-Operator erhalten (im Kontext von QFT)?

Nehmen wir das mal an$G$ist eine Lie-Gruppe, die eine treue , einheitliche , stark kontinuierliche Repräsentation zulässt $U$auf einem Hilbertraum$\cal H$, damit wir die Elemente interpretieren können$a$der Lie-Algebra von$G$in Bezug auf selbstadjungierte Generatoren von einheitlichen Gruppen mit einem Parameter,

$$U(\exp(s a)) = e^{is A}\:.$$

Die Betreiber$A$sind selbstadjungiert und werden üblicherweise in einem dichten Unterbereich namens Garding-Raum definiert, wo sie im Wesentlichen selbstadjungiert sind (ein weiterer interessanter Bereich ist der von Nelson konstruierte, in dem das Exponential auf der rechten Seite wie in seiner Standard-Taylor-Reihe entwickelt werden kann ).

Wenn$G$die größte Gruppe kontinuierlicher Symmetrien des Quantensystems ist, sollte eine dieser einparametrigen Untergruppen die zeitliche Entwicklung des Systems darstellen. Nehmen wir an, dass es sich um die Gruppe handelt, die von dem Element erzeugt wird$-h$der Lie-Algebra von$G$. Wir haben daher

$$U(\exp(-t h)) = e^{-it H}$$

Ich habe das Vorzeichen geändert, da die Zeitentwicklung die Umkehroperation der Zeitverschiebung ist.$H$ist per Definition die Hamiltonsche Observable des Systems. Offensichtlich sind einige körperliche Voraussetzungen erforderlich$H$, zunächst muss sein Spektrum nach unten begrenzt werden usw. Ich halte mich hier nicht daran und vermute das fortan$H$ist ein wohlerzogener physischer Hamiltonianer.

Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten, wenn$a$ist ein generisches Element der Lie-Algebra. Einer ist ($\{\cdot, \cdot\}$ist der Standard-Lie-Algebra-Kommutator)

$$\{h, a\}=0\tag{1}\:.$$

Als Folge der Hausdorff-Baker-Campbell-Gleichheit in$G$, können wir diese Identität zu einer Gruppenidentität potenzieren

$$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(sa)\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.$$ Anwenden der Darstellung $U$: $$e^{itH} e^{sA} e^{-itH} = e^{sA}\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.$$ Ausnutzen des Stone-Theorems, Einbeziehen der starken Ableitung $s$erhalten wir sofort $$e^{itH} A e^{-itH} = A\quad \forall t\in \mathbb R\:.$$ (Diese Identität ist auch in Bezug auf Feinheiten mit Domänen völlig wohlgestellt.) Diese Identität sagt nichts anderes aus, als dass die Heisenberg-Evolution des Beobachtbaren$A$ist konstant und somit $A$ist eine Bewegungskonstante .

Was passiert, wenn stattdessen

$$\{h, a\}\neq 0\: \mbox{?}\tag{2}\:.$$ In diesem Fall haben wir $$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(sa(t))\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.\tag{2}$$ wo wir die natürliche Wirkung von verwendet haben $g \in G$über seine Lie-Algebra, $$a \mapsto g^{-1}ag$$ und wir haben das Element der Lie-Algebra definiert $a(t)$ $$a(t) := \exp(th) a\exp(-th) \quad \forall t\in \mathbb R\:.\tag{3}$$

Festlegen einer Basis$a_1, \ldots, a_n$der Lie-Algebra,

$$a = \sum_j c_j a_j \quad \mbox{for some reals $c_j$}$$ und somit $$a(t) = \sum_j c_j(t) a_j \quad \mbox{for some real valued functions $c_j= c_j(t)$}$$ die gefundene Identität kann umformuliert werden $$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(\sum_{j=1}^n sa(t))\quad \forall t,s \in A\:.$$ Unter erneuter Nutzung des Theorems von Stone schließen wir, dass für eine Observable, die aus den selbstadjungierten Generatoren konstruiert ist $A_j$(entsprechend der Grundlage der $a_j$), $$A = \sum_j c_j A_j \quad \mbox{for some reals $c_j$}$$ es hält $$e^{itH} A e^{-itH} = \sum^n_{j=1}c_j(t) A_j\quad \forall t\in \mathbb R\:.\tag{4}$$ (Diese Identität ist auf dem Garding-Raum gültig und kann zu einer wahren Identität zwischen selbstadjungierten Operatoren erweitert werden, die die Abschlüsse von beiden Seiten nehmen). Der physische Inhalt der gefundenen Identität besteht darin,

auch wenn der Vertreter$A$der Lie-Algebra der Observablen ist keine Bewegungskonstante, ihre Entwicklung "à la Heisenberg" wird jedoch in Form einer linearen Kombination der Generatoren beschrieben und die Zeitabhängigkeit betrifft nur die numerischen Koeffizienten.

Dies ist ein höchst nicht triviales Ergebnis. Tatsächlich kann das Ergebnis in eine Aussage über die Existenz von Bewegungskonstanten umgewandelt werden, die parametrisch von der Zeit abhängen . Dies ist das in QFT übliche Standardverfahren, insbesondere für den Boost-Generator.

Unter der Annahme, dass (4) gilt, definiert man die Observable parametrisch in Abhängigkeit von der Zeit im Schrödinger-Bild (und wieder taucht die Zeitabhängigkeit nur in den Koeffizienten auf)

$$A_S(t) := \sum^n_{j=1}c_j(-t) A_j$$

Mit dieser Definition

$$A_S(0) := A$$

und, von (4), wo$U_t:= e^{-itH}$

$$A_H(t) := U^*_t A_S(t) U_t := A_S(0) \quad \forall t \in \mathbb R$$ die formal auf einer Domäne neu geschrieben werden könnte $$\partial_t A_H(t) + i[H, A_H(t)]=0\:.$$

Wenn$G$ist die Poincare'-Gruppe, die Boost-Generatoren$K_j$werden so behandelt. Man definiert die zeitparametrisierten Boost-Operatoren$K_{Sj}(t)$im Schrödinger-Bild, die wo immer so eine Form annehmen$j=1,2,3$,

$$K_{Sj}(t) = K_j - t Z_j$$ Wo $Z_j$ist eine bestimmte konstante Linearkombination der Generatoren der Lie-Algebra und $K$ist der Standard-Boost-Generator, den Sie durch die Kommutierungsbeziehungen erhalten. In QFT hat es einen Beitrag aufgrund des Spins und einen orbitalen Anteil. $K$ist wichtig, weil es mit dem relativistischen Positionsoperator verwandt ist, wie es verstanden werden kann, wenn die nicht relativistische Grenze durchgeführt wird (dh die Poincaré-Gruppe durch die Galilei-Gruppe ersetzt wird) $$K_{Sj}(t) = mX_j - t P_j\:,$$ Wo $m$ist die Masse des Systems und $X_j$die Position seines Massenmittelpunkts .

Sie haben Recht, dass in der abstrakten Poincaré-Algebra die "Hamiltonsche"$P^0$pendelt nicht mit den Boosts$K^i = J^{0i}$. Aber entscheidend ist, dass „Erhaltung“ in der abstrakten Umgebung keine Bedeutung hat. Die Erhaltung einer Größe ist eine Aussage über ein dynamisches System , entweder im Lagrange- oder im Hamilton-Formalismus. Während insbesondere der Satz von Noether erfordert, dass die Symmetrie eine Off-Shell- Symmetrie der Lagrange-Funktion ist , gilt die Erhaltung des Stroms nur bei Verwendung der Bewegungsgleichungen , dh On-Shell. Auch die Poincaré-Algebra als Algebra weiß nichts von der besonderen Rolle, die die Zeit für den Erhaltungsgedanken spielt. Es ist nur eine Algebra.

Daher gibt es überhaupt keine Möglichkeit, eine "erste Prinzipien"-Argumentation zu erwarten$J^{0i}$sollte in allen dynamischen Systemen erhalten bleiben, die eine Darstellung der Poincaré-Algebra tragen, aber in denen, die Poincaré-invariant sind , müssen wir unbedingt haben

$$\mathrm{i}[H,J^{0i}] + \partial_0 J^{0i} = 0 \tag{1}$$ mit genau der Begründung, die Sie vorgetragen haben.

Formal, um die Zeitabhängigkeit von zu berücksichtigen$J^{0i}$und Gl. (1) innerhalb eines Hamiltonschen Rahmens müssten wir einen erweiterten Phasenraum definieren, indem wir die Zeit hinzufügen$t$und sein konjugierter Impuls$p_t$zum Phasenraum und Definition des erweiterten Hamiltonoperators$\tilde{H} = p_t + H(t,x,p)$. Man kann das eine Menge zeigen$f(t,x,p)$ist genau dann eine Bewegungskonstante des ursprünglichen Systems

$$\{f,\tilde{H}\} = 0$$ für dieses erweiterte System. Beachten Sie, dass $\{f,\tilde{H}\} = \{f,p_0\} + \{f,H\}$, das ist also Gl. (1) verkleidet. Für eine Referenz, die diese Erweiterung im Detail durchführt (und auch die Quantisierung dieser Einstellung diskutiert), siehe zB "Time-Dependent Mechanical Symmetries and Extended Hamiltonian Systems" von Kuwabara.

Wir können jedoch ziemlich direkt argumentieren, dass Gl. (1) ist keine unangemessene Bedingung in Anbetracht der physikalischen Bedeutung von$J^{0i}$Und$P^i$:

Auf dem Minkowski-Raum ergibt sich ein infinitesimaler Schub in x-Richtung durch$x\mapsto x+\epsilon t$für unendlich klein$\epsilon$, das ist,$J^{0x} x = t$. Ableitung bzgl$t$, das wird sofort$\partial_0 (J^{0x} x) = 1$, also die infinitesimale Transformation, die von erzeugt wird$\partial_0 J^{0x}$ist die Übersetzung$x\mapsto x+\epsilon$, das ist genau die Transformation der Impuls$P^x$erzeugt. Das heißt, die Formel, für die Sie schreiben$J^{0i}$Am Ende Ihrer Frage, die angeblich von allen Details der Quantisierung von QFT abhängt ... nicht! Sogar klassisch können wir sagen, dass wir bei Funktionen im Minkowski-Raum die Darstellung haben

$$J^{0i} = x^0 \partial^i - x^i\partial^0$$ für die Generatoren von Boosts und $\partial_0 J^{0i} = \partial^i = P^i$.