Verwechslung mit Weinbergs QFT-Buch, Band 1, Kapitel 3: Zeitübersetzung und Heisenberg-Bild

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Verwechslung mit Weinbergs QFT-Buch, Band 1, Kapitel 3: Zeitübersetzung und Heisenberg-Bild

Kaius

Entschuldigung, wenn dies eine naive Frage ist, aber ich bin neu bei QFT. In der Behandlung der Streuung in Abschnitt 3.1 von Die Quantentheorie der Felder , Bd. 1, stellte Weinberg erstmals die allgemeine Transformationsregel für mehrere nicht wechselwirkende Teilchen unter der Wirkung eines Poincaré-Gruppenelements vor $(\Lambda, a)$ (S.108, Gl.(3.1.1)):

U (Λ, A) Ψ_{P_{1}, σ_{1}, N_{1}; P_{2}, σ_{2}, N_{2}; \dots} = \exp (- ich A_{μ} ((Λ P_{1})^{μ} + (Λ P_{2})^{μ} + \dots)) \times \sqrt{\frac{(Λ P_{1})^{0} (Λ P_{2})^{0} \dots}{P_{1}^{0} P_{2}^{0} \dots}} \sum_{σ_{1}^{'} σ_{2}^{'} \dots} D_{σ_{1}^{'} σ_{1}}^{(J_{1})} (W (Λ, P_{1})) D_{σ_{2}^{'} σ_{2}}^{(J_{2})} (W (Λ, P_{2})) \dots \times Ψ_{Λ P_{1}, σ_{1}^{'}, N_{1}; Λ P_{2}, σ_{2}^{'}, N_{2}; \dots} .

$U(\Lambda, a)\Psi_{p_1,~\sigma_1,~n_1;~p_2,~\sigma_2,~n_2;~\cdots} =\exp\left( -ia_\mu((\Lambda p_1)^\mu + (\Lambda p_2)^\mu+\cdots) \right) \times\sqrt{\displaystyle{\frac{(\Lambda p_1)^0(\Lambda p_2)^0\cdots}{p_1^0p_2^0\cdots}}}\sum_{\sigma'_1~\sigma'_2~\cdots} D_{\sigma'_1~\sigma_1}^{(j_1)}\left( W(\Lambda,p_1) \right) D_{\sigma'_2~\sigma_2}^{(j_2)}\left( W(\Lambda,p_2) \right) \cdots \times \Psi_{\Lambda p_1,~\sigma'_1,~n_1;~\Lambda p_2,~\sigma'_2,~n_2;~\cdots}.$ Hier

Λ

$\Lambda$ ist eine beliebige homogene Lorentz-Transformation und

a

$a$ ist eine nachgeschaltete Raum-Zeit-Übersetzung

Λ

$\Lambda$ . Die Etiketten

p_{1}, σ_{1}, n_{1}; p_{2}, σ_{2}, n_{2}; \dots

$p_1,~\sigma_1,~n_1;~p_2,~\sigma_2,~n_2;~\cdots$ stellen die Zustände von Teilchen dar, wobei das erste Teilchen einen Impuls hat

p_{1}

$p_1$ , drehen

σ_{1}

$\sigma_1$ , Aufladung

n_{1}

$n_1$ usw. Die

D

$D$ sind Wigner-Rotationsmatrizen, die für die vorliegende Frage nicht direkt relevant sind.

Ich bin ziemlich zuversichtlich, diese Gleichung zu verstehen, da sie direkt aus dem vorherigen Kapitel folgt. Allerdings bin ich verwirrt, wenn Weinberg das sagt $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ wenn wir setzen $\Lambda^{\mu}_{~~\nu} = \delta^{~\mu}_{~~~\nu}$ Und $a^{\mu}\sim(0,0,0,\tau)$ (die vierte Komponente ist die Zeit). So wie ich es verstehe, $H$ bezeichnet in diesem Kapitel nicht mehr den freien Teilchen-Hamiltonoperator wie in Kapitel 2, sondern den „totalen“ Hamiltonoperator einschließlich Wechselwirkung. Dies geht am deutlichsten aus seiner Gleichung (3.1.8) hervor. Daher die Behauptung $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ ist einfach eine Aussage, dass Hamiltonian Zeitentwicklung erzeugt, was aus der Schrödinger-Gleichung folgt. (Das Fehlen des Minuszeichens im Exponential liegt an der „passiven“ Sichtweise, die wir einnehmen.) Aber ich bezweifle wirklich, ob dies das richtige Verständnis ist, da Weinberg die Schrödinger-Gleichung oder die Zeitentwicklung jeglicher Art nicht ausdrücklich erwähnt hat bis zu diesem Punkt im Buch.

Was mich noch mehr verwirrt hat, ist seine Aussage im mittleren Absatz auf Seite 109:

Um die manifeste Lorentz-Invarianz aufrechtzuerhalten, ändern sich in dem hier verwendeten Formalismus Zustandsvektoren nicht mit der Zeit – ein Zustandsvektor $\Psi$ beschreibt die gesamte Raumzeitgeschichte eines Teilchensystems. (Dies ist bekannt als das Heisenberg-Bild ...)

Im Heisenberg-Bild wird die Zeitentwicklung nun von Operatoren und nicht vom Zustandsvektor ausgeführt. Wie kommt es dann zu dieser Zeitentwicklung? $\tau$ wird darin enden, dass $\exp(iH\tau)$ wird auf den Zustandsvektor eingewirkt? Ich kann auch nicht verstehen, wie man das Heisenberg-Bild verwendet, um die manifeste Lorentz-Invarianz aufrechtzuerhalten.

Zusammenfassend hier meine wichtigsten Fragen:

(1) Bedeutet die Aussage „wenn wir setzen $\Lambda^{\mu}_{~~\nu} = \delta^{~\mu}_{~~~\nu}$ Und $a^{\mu}\sim(0,0,0,\tau)$ , Dann $U(\Lambda, a) = \exp(iH\tau)$ ' beinhalten eine implizite Anwendung der Schrödinger-Gleichung oder eine Zeitentwicklungsgleichung ähnlicher Art?

(2) Wie verträgt sich die Tatsache, dass wir ein Heisenberg-Bild verwenden, mit der Änderung des Zustandsvektors unter dieser speziellen Wahl von $U(\Lambda, a)$ ?

(3) Warum erlaubt uns die Anwendung des Heisenberg-Bildes, eine manifeste Lorentz-Invarianz zu sehen? Wie kann ich es sehen?

Ich würde es wirklich schätzen, wenn mir jemand einige Hinweise oder Einblicke geben könnte oder einfach darauf hinweisen könnte, wo ich falsch gelaufen bin.

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hallo · Answer 1

(1) Der Betreiber $U(\Lambda,a)$ ist eine einheitliche "Rotation" im Hilbert-Raum, die einer inhomogenen Lorentz-Transformation der Raum-Zeit-Koordinaten entspricht. Wenn $U(\Lambda,a)=\exp(iH\tau)$ , es ist ein Operator, der die Uhr vorwärts stellt um $\tau$ . Konzeptionell ist dies keine physikalische Zeitentwicklung des Systems.

(2) Eine einheitliche Drehung $U$ im Hilbert-Raum transformiert sowohl Operatoren als auch Zustände, aus dem gleichen Grund wie eine Drehung nach innen $\mathbb{R}^{3}$ transformiert sowohl Vektoren als auch Matrizen, die auf Vektoren wirken. Das heißt, wir haben $\hat{O}\Psi$ $\rightarrow$ $\hat{O}^{\prime}\Psi^{\prime}$ , Wo $\hat{O}^{\prime} = U\hat{O}U^{-1}$ Und $\Psi^{\prime} = U\Psi$ . Dies gilt sowohl für das Heisenberg- als auch für das Schrödinger-Bild.

(3) Jemand anderes hat vielleicht eine bessere Antwort, aber was die Streutheorie selbst betrifft, sehe ich keinen Vorteil des Heisenberg-Bildes gegenüber dem Schödinger-Bild. Sobald wir jedoch wissen, dass wir mit einer Quantenfeldtheorie arbeiten, ist es natürlicher, das Heisenberg-Bild zu verwenden, da es Raum und Zeit gleichberechtigt behandelt. Das heißt, in diesem Bild sind Quantenfeldoperatoren Funktionen der Raumzeit, während Zustände überhaupt keine Raumzeitabhängigkeit haben. Andererseits hängen im Schödinger-Bild Quantenfelder nur von räumlichen Koordinaten ab, während Zustände nur von der Zeit abhängen.

Danke! Ihre Antwort lässt mich erkennen, dass ich die Zeitübersetzung mit der Zeitentwicklung verwechselt habe. Zeitübersetzung bedeutet lediglich, die Uhr des Beobachters in der „passiven“ Sichtweise anzupassen oder unsere Experimente so umzuordnen, dass alles in einer späteren Zeit in der „aktiven“ Sichtweise passiert, wo die Zeitentwicklung mit der Dynamik verknüpft ist. Da zeitliche Translation nichts anderes ist als Rotation oder räumliche Translation, ist es erlaubt, sowohl Heisenberg-Bildzustände als auch Operatoren zu modifizieren.
Scheint auf dem richtigen Weg zu sein, aber wird der Generator der Zeitübersetzung nicht der freie Teilchen-Hamiltonoperator sein, das heißt $H_0 = (p^0)_1 + (p^0)_2 + \cdots$ Wo $(p^0)_i$ ist die Zeitkomponente der $i$ -ten Impulsoperator des Teilchens, anstatt $H$ , der "vollständige" Hamiltonian mit Wechselwirkung eingeschlossen?
Der Generator der Zeitübersetzung ist der vollständige Hamiltonoperator $H$ . Auch wenn die Wechselwirkung hier eingeschlossen ist, $E = p_{1}^{0} + p_{2}^{0} + \cdots$ weil wir in- und out-Zustände betrachten, die im Limes wechselwirkungsfrei sind $t \to \mp \infty$ . Genauer gesagt besteht ein aus In(Out)-Zuständen aufgebautes Wellenpaket aus Teilchen, die bei unendlich weit voneinander entfernt sind $t \to -\infty$ ( $+\infty$ ).

Benennen Sie YYY · Answer 2

Nur ein Kommentar zur Higgsss-Antwort.

Formal aus dem Wigner-Theorem haben wir, dass, wenn es eine Zeitverschiebungssymmetrie gibt, für die das Skalarprodukt der quantenmechanischen Strahlen erhalten bleibt,

\begin{matrix} (1) & | ⟨ ψ (T) | κ (T) ⟩ | = | ⟨ ψ^{'} (T + τ) | κ^{'} (T + τ) ⟩ |, \end{matrix}

$\tag 1 |\langle \psi (t)|\kappa (t)\rangle| = |\langle \psi{'}(t+\tau)| \kappa{'}(t+\tau) \rangle|,$ dann wirkt die Symmetrietransformation weiter

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ als linearer unitärer Operator (oder antilinear antiunitär, der für Zeitverschiebungssymmetrie nicht realisiert wird),

U = e^{ich \hat{H} T}

$U = e^{i\hat{H}t}$

\hat{H}

$\hat{H}$ hat den formalen Sinn des Zeitübersetzungsgenerators und den physikalischen Sinn der Energie des Systems. Die Aussage des Theorems hängt nicht von Details des Systems ab (dh es kann sich um die Menge freier, nicht wechselwirkender Ein-Teilchen-Zustände oder ein solches wechselwirkendes System handeln), mit Ausnahme der Eigenschaft

(1)

$(1)$ .

Die Interpretation der Zeitübersetzung kann aktiv oder passiv sein. Aus passiver Sicht gibt es viele Beobachter, die durch die Symmetrietransformation miteinander in Beziehung stehen und dasselbe System beschreiben. Hier sehen wir nichts als die Symmetrietransformation, nicht die Evolution.

Aus aktiver Sicht gibt es jedoch nur einen Beobachter, aber das System selbst wird der Zeitsymmetrietransformation unterzogen (dh es wird zeitlich verändert). Mit anderen Worten, aufgrund der aktiven Sichtweise, transformiert durch den Symmetrie-Transformationszustand

| ψ^{'} ⟩ \equiv | ψ (T) ⟩

$|\psi{'}\rangle \equiv |\psi(t)\rangle$ ist der Staat, der aus dem Staat hervorgegangen ist

| ψ ⟩ = | ψ (0) ⟩

$|\psi\rangle = |\psi (0)\rangle$ Nach dem Wigner-Theorem und dem aktiven Standpunkt haben wir das

| ψ (T) ⟩ = e^{- ich H T} | ψ (0) ⟩,

$|\psi (t)\rangle = e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,$ dh die Schrödinger-Gleichung.

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