Was bedeutet die Quadratwurzel des Laplace-Operators?

Question

Was bedeutet die Quadratwurzel des Laplace-Operators?

Physik
Betreiber
hamiltonisch
Hilbert-Raum
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie

William Huang

Es gibt eine Beziehung im Lehrbuch "Quantenfeldtheorie und das Standardmodell, Schwartz"

\begin{matrix} (2,85) & ⟨ 0 | \sqrt{M^{2} - {\vec{▽}}^{2}} ϕ_{0} (\vec{X}, T) | ψ ⟩ = ⟨ 0 | \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{\sqrt{{\vec{P}}^{2} + M^{2}}}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A_{P} e^{- ich P X} - A_{P}^{†} e^{ich P X}) | ψ ⟩, \end{matrix}

$\left \langle 0\left | \sqrt{m^2-\vec{\bigtriangledown }^2}\phi _0(\vec{x},t) \right |\psi \right \rangle=\left \langle 0\left | \int \frac{d^3p}{(2 \pi)^3} \frac{\sqrt{\vec{p}^2+m^2}}{\sqrt{2\omega _p}}\left ( a_pe^{-ipx}-a_p^\dagger e^{ipx} \right )\right |\psi \right \rangle, \tag{2.85}$

Wo

\begin{matrix} (2,78) & ϕ_{0} (\vec{X}, T) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A_{P} e^{- ich P X} + A_{P}^{†} e^{ich P X}) . \end{matrix}

$\phi _0(\vec{x},t)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega _p}}\left ( a_pe^{-ipx}+a^\dagger _pe^{ipx} \right ).\tag{2.78}$

Ich weiß nicht, warum dort ein Minuszeichen erscheint $a_pe^{-ipx}-a_p^\dagger e^{ipx}$ statt Pluszeichen.

pppqqq

Es sieht so aus, als würde er definieren

\sqrt{m^{2} - \nabla^{2}}

$\sqrt {m^2 -\nabla ^2}$ sein, in der Fourier-Transformation,

\pm E_{p}

$\pm E_\mathbf p$ für positive bzw. negative Energieeigenfunktionen.

Antworten (1)

Was bedeutet die Quadratwurzel des Laplace-Operators?

Es sieht so aus, als würde er definieren $\sqrt {m^2 -\nabla ^2}$ sein, in der Fourier-Transformation, $\pm E_\mathbf p$ für positive bzw. negative Energieeigenfunktionen.

Slereah · Answer 1

Die Quadratwurzel eines Differentialoperators gibt an, dass die Fourier-Faktoren dieses Operators als Quadratwurzeln genommen werden. In diesem Fall,

FT (\nabla^{2} φ) \propto P^{2} \tilde{φ}

$\text{FT}(\nabla^2 \varphi) \propto p^2 \widetilde \varphi$

FT (\sqrt{\nabla^{2}} φ) \propto \sqrt{P^{2}} \tilde{φ}

$\text{FT}(\sqrt{\nabla^2} \varphi) \propto \sqrt{p^2} \widetilde \varphi$

Der Operator wird dann gleich so etwas wie sein

\sqrt{\nabla^{2}} φ \propto \int D^{3} P \sqrt{P^{2}} \tilde{φ} e^{ich P X}

$\sqrt{\nabla^2} \varphi \propto \int d^3p \ \sqrt{p^2} \widetilde \varphi e^{ipx}$

Was bedeutet die Quadratwurzel des Laplace-Operators?

William Huang

pppqqq

Antworten (1)

Slereah

Was sind die orthogonalen Eigenzustände des Feldoperators?

Wie findet man Leiteroperatoren, die einen Hamiltonoperator in QFT diagonalisieren?

Positionsoperator in QFT

Wie passt die nicht-hermitesche Quantenmechanik (PT-symmetrische QM) in die Physik?

Einfache QFT-Simulation - wie es geht

Vakuumerwartungswert bei Anwesenheit einer Quelle

Moduserweiterung des Feldoperators in der nichtrelativistischen QFT

Wie kann ein Hamiltonoperator den Hilbertraum bestimmen?

Beziehung zwischen der Fourier-Transformation und dem Fock-Raum

Warum werden Korrelationsfunktionen nur als zeitlich geordnete definiert?