Wie kann ein Hamiltonoperator den Hilbertraum bestimmen?

Wenn man über die Quantenfeldtheorie diskutiert, spricht man manchmal so, als würde ein Hamiltonoperator bestimmen, was der Hilbert-Raum ist. In dieser Antwort heißt es beispielsweise AccidentalFourierTransform

Stellen Sie sich vor, ein H 0 das hängt von den Phasenraumvariablen ab P , X . [...] Wenn Sie die Störung hinzufügen L → ⋅ S → , mit S → den Spin des Teilchens, dann ändert man den Hilbertraum, weil der neue Raum drei Phasenraumvariablen hat P , X , S , und Sie können letzteres nicht mit einer Basis des ersteren überspannen.

Diese Art von Sprache taucht auch auf, wenn das freie Skalarfeld eingeführt wird – viele Vorlesungsunterlagen und Lehrbücher sprechen vom „Bauen“ oder „Konstruktieren“ des Hilbert-Raums oder vom „Finden“ des „Hilbert-Raums des Hamilton-Operators“.

Diese Art der Argumentation erscheint mir genau rückwärts. Wie kann man überhaupt einen Hamiltonoperator definieren, also einen Operator auf einem Hilbert-Raum, wenn man den Hilbert-Raum vorher nicht kennt? Ohne Angabe eines Hilbert-Leerzeichens ist dies nicht der Fall H = p 2 / 2 m + v ( x ) nur eine bedeutungslose Buchstabenfolge ohne mathematische Definition? Ich finde diesen Perspektivenwechsel so verwirrend, dass ich das Gefühl habe, eine Vorlesung verpasst zu haben, zu der alle anderen gegangen sind.

Wenn man sich zum Beispiel mit dem harmonischen Oszillator beschäftigt, kann man zeigen, dass der Hilbert-Raum Kopien von enthalten muss { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ , … } nur unter Verwendung der Kommutierungsbeziehungen. Aber es gibt keine Möglichkeit festzustellen, wie viele Kopien es gibt, es sei denn, wir verwenden die Tatsache, dass der Hilbert-Raum tatsächlich existiert L 2 ( R ) was das zeigt a | 0 ⟩ = 0 bestimmt einen eindeutigen Zustand. In ähnlicher Weise würde ich mir vorstellen, dass wir für Quantenfelder mit einem Hilbert-Raum beginnen sollten, in dem die einzelnen Zustände klassische Feldkonfigurationen sind, aber ich habe dies in der Praxis noch nie gesehen - es scheint keine Eingabe als den Hamilton-Operator selbst zu geben. Wie könnte das reichen?

Alle Hilbert-Räume sind isomorph, sodass Sie jeden beliebigen Hilbert-Raum verwenden können. Der Hilbert-Raum bestimmt, mit welchem ​​Hilbert-Raum am einfachsten zu arbeiten ist.
@Slereah Das ist völlig falsch. C 2 ≠ C 3 , zum Beispiel. Das ist meiner Meinung nach eine gute Frage.
Oh ja, trennbar unendlich dimensional, genauer gesagt
@Slereah, obwohl das technisch wahr ist, ist es zutiefst unphysisch. Ein Isomorphismus zwischen Hilbert-Räumen, die von Funktionen auf Räumen unterschiedlicher Dimension aufgespannt werden, erfordert im Allgemeinen, dass Sie für jeden eine feste Basis wählen, und das wird ohne weitere Informationen nur durch das Wahlaxiom gewährt. Um einen tatsächlich brauchbaren Isomorphismus zu wählen, müssen Sie ziemlich genau mit einer Eigenbasis beginnen, die Sie nur haben, wenn der Hamiltonoperator bereits im richtigen Raum definiert ist!

Antworten (1)

Der Punkt ist, dass man manchmal von einem mehr oder weniger expliziten algebraischen Formalismus ausgeht, bei dem zunächst nur algebraische Manipulationen von algebraischen Elementen verwendet werden. Operatoren sind hier keine Operatoren in einem präzisen Hilbertraum, sondern nur Elemente einer Einheit ∗ -Algebra und es werden nur Kompositionen (Multiplikation mit Skalaren, Summe und Algebraprodukt) und die Involutionsoperation (formal adjungiert) verwendet. Als nächstes sieht man, ob diese Algebra mit weiteren technischen Bedingungen (einige Operatoren müssen selbstadjungiert sein, einige Darstellungen müssen irreduzibel sein) oder physikalischen Anforderungen (es existiert ein geeigneter Zustand) eindeutig einen Hilbert-Raum bestimmen, in dem diese Algebra in Bezug auf Operatoren getreu dargestellt wird mit passenden Domains.

Zum Beispiel die Algebra von a , a ∗ bestimmt vollständig die standardmäßige harmonische Oszillatordarstellung in L 2 ( R , d x ) wenn man davon ausgeht a ∗ a ist im Wesentlichen selbstadjungiert auf einem dichten gemeinsamen invarianten Bereich und die entstehende Darstellung ist irreduzibel.

Sobald man in der QFT eine algebraische Version von Feldoperatoren hat, konstruiert ein Zustand die Hilbert-Raumdarstellung beispielsweise durch das GNS-Rekonstruktionstheorem.

Manchmal erweisen sich einige Hypothesen als unvereinbar, wie es im Fall des Satzes von Haag der Fall ist.

Zusammenfassend wird der Hamiltonian selbst als Element einer Einheit angesehen ∗ -Algebra reicht nicht aus, um einen Hilbert-Raum zu bestimmen, in dem die Theorie auf die übliche Weise implementiert werden kann, die gesamte Algebra sollte festgelegt werden und normalerweise sind mehr Informationen erforderlich.

Wie kann ein Hamiltonoperator den Hilbertraum bestimmen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v