Überlagerung von Zuständen in zweiter Quantisierung

Angenommen, ich habe ein Teilchen mit unbestimmtem Spin, dessen Zustände durch eine einzige Quantenzahl bestimmt werden k = 1 , . . . , N . In der Standardnotation der Quantenmechanik ist der Zustand, in dem sich das Teilchen in einer Überlagerung aller möglichen Zustände befindet, gegeben durch

| φ ⟩ = 1 N ∑ k = 1 N | k ⟩ .
Wäre es sinnvoll, eine zweite Quantisierung zu verwenden, um denselben Zustand zu beschreiben? Bisher habe ich diesen Formalismus nur bei Vielteilchensystemen gesehen. In diesem Fall würde es vielleicht so aussehen:
A 1 † | 0 ⟩ + . . . + A N † | 0 ⟩ ,
Wenn A ist der Vernichtungsoperator für das Teilchen und | 0 ⟩ der Vakuumzustand. Es gibt mehrere Punkte, bei denen ich unsicher bin:

  • Kann ich den Formalismus trotzdem anwenden, wenn ich a priori den Spin des Teilchens nicht kenne?
  • Kann ich der formalen Summe noch verschiedene Amplituden hinzufügen A 1 † | 0 ⟩ + . . . + A N † | 0 ⟩ , in der Form a 1 A 1 † | 0 ⟩ + . . . + a N A N † | 0 ⟩ ?
  • Ist das überhaupt sinnvoll?
Eine Anforderung von QFT (/Sekunden-Quantisierung) ist, dass sie in der Lage ist, auf Standard-QM zu reduzieren. Daher denke ich, dass die Idee hinter dieser Frage theoretisch funktionieren sollte. Siehe die Definition des Feldoperators in QFT, wenn er auf ~Impulsbasis ausgedrückt wird.
Tut dies nicht die Aktion der quantisierten Feldoperatoren?
ϕ ^ ( X ) | 0 ⟩ = ∫ D 3 P ~   ( A † ( P ) e − ich P X + A ( P ) e ich P X ) | 0 ⟩ = ∫ D 3 P ~   A † ( P ) e − ich P X | 0 ⟩ .
Charlies Formel kann auch verallgemeinert werden, um sie mit Amplituden anzuwenden, die sich von ebenen Wellen unterscheiden (obwohl sie, wenn ich mich richtig erinnere, immer noch Lösungen der Schrödinger-Gleichung sein müssen [obwohl ich in meinem Verständnis dieser Erinnerung möglicherweise zu restriktiv bin]).
Dieser Vorschlag scheint mir ziemlich anders zu sein als das gewöhnliche 2. Quantisierungsszenario. Hier nehmen wir einen Hilbert-Raum, der von N orthogonalen Zuständen aufgespannt wird, und versuchen, ihn in einen Hilbert-Raum umzuformen, der von 2^N orthogonalen Zuständen aufgespannt wird. Wie könnten Vektorräume mit einer unterschiedlichen Anzahl endlicher Dimensionen zueinander isomorph sein, es sei denn, ich vermisse etwas? Normalerweise beginnen wir mit einem direkten Produkt einer zählbar unendlichen Anzahl von unzählbar unendlich dimensionalen Hilbert-Räumen und zerlegen das einfach in eine direkte Summe verschiedener Sektoren mit jeweils einer genau definierten Teilchenzahl.
Der zweite scheint die Dimensionalität nicht zu ändern, während der erste dies tut.

Antworten (1)

Ja, es ist möglich, die zweite Quantisierung für Einteilchenprobleme auf die in der Frage beschriebene Weise zu verwenden. Dabei sind einige Punkte zu beachten:

  • Dies wird in den meisten Fällen überflüssig sein, da der Formalismus ausdrücklich auf die Behandlung von Vielteilchenproblemen unter Berücksichtigung der Statistik von Fermionen und Bosonen ausgelegt ist. Aber es gibt Ausnahmen.
  • Abhängig von der Berechnungstechnik muss man darauf achten oder nicht, die Gesamtzahl der Teilchen einzuschränken. Zum Beispiel verlaufen Bewegungsgleichungstechniken, die auf einen teilchenerhaltenden Hamiltonoperator angewendet werden, typischerweise ohne Probleme. Alle Arten von statistischen Mittelwerten erfordern jedoch das Auferlegen einer Einschränkung - es gibt tatsächlich eine Reihe von Techniken, die verwendet werden, um solche Einschränkungen aufzuerlegen (obwohl sie normalerweise in komplexeren Umgebungen verklagt werden), wie z. usw.
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