Können Quantenfelder als Überlagerungen klassischer Felder angesehen werden?

Am Ende meines Quantenmechanik-Studiums im Grundstudium haben wir uns Phononen angesehen. Sie können lassen X ich der Ortsoperator eines n-ten harmonischen Quantenoszillators sein und die harmonischen Oszillatoren mit einem Potential koppeln. Der Hamilton-Operator sieht etwa so aus:

H = ∑ ich ( P ich 2 2 M + 1 2 M ω 2 X ich 2 ) + ∑ ich 1 2 M ω 2 ( X ich − X ich + 1 ) 2

Sie können das Verfahren zum Erhöhen und Senken von Operatoren durchführen, um Folgendes zu finden:

H = ∑ k ℏ ω k ( A k † A k + 1 2 )

und stellen Sie sogar fest, dass der Grundzustand in der Positionsbasis ungefähr so ​​​​aussieht (ohne die genauen Frequenzen und die Normalisierung und all das zu ignorieren):

⟨ X 1 , ⋯ , X N | ψ ⟩ = e − X 1 2 − X 2 2 − ⋯ − X N 2
oder gleichwertig,

| ψ ⟩ = ∫ D N   X e − X 1 2 − X 2 2 − ⋯ − X N 2 | X 1 , ⋯ , X N ⟩

Der A k † Operatoren werden so interpretiert, dass sie ein Phonon im k-ten Modus erzeugen.

Unter Verwendung der Kontinuumsgrenze haben wir die Skalarwellengleichung quantisiert. Ich möchte für den Grundzustand etwa Folgendes schreiben:

| ψ ⟩ = ∫ D [ ϕ ] e − ∫ D D j ϕ ( j ) 2 | ϕ ⟩

Ich studiere elementare Quantenfeldtheorie und finde es schwierig, eine klare Antwort darauf zu bekommen, ob das eine korrekte Interpretation einer Quantenfeldtheorie ist. Für die Elektrodynamik hätte ich pendelnde Observablen E → Und B → an jedem Punkt im Raum. (Pendeln, weil ich möchte, dass sie eine vollständige Basis von Zuständen bilden). Ich könnte das Feld als Überlagerungen von Eigenvektoren dieser Operatoren darstellen und etwas wie oben erhalten. Wenn E ( j ) Und B ( j ) sind Vektorfelder, die an jedem Punkt im Raum Eigenwerte der obigen Operatoren sind, das heißt, ich könnte mir vorstellen, jeden Quantenzustand meiner quantisierten Elektrodynamik so zu schreiben wie:

| ψ ⟩ = ∫ D [ ( E , B ) ] F ( E , B ) | ( E , B ) ⟩

wo die sechs Komponenten des Vektorfeldes ( E ( j ) , B ( j ) ) die gleiche Rolle spielen wie ϕ ( j ) tat im vorherigen Beispiel, und wie ( X 1 , ⋯ , X N ) im Beispiel davor gemacht. F ( E , B ) wäre eine komplexe Zahl, die eine Funktion der Felder ist E Und B .

Sicher, ich erwarte, dass überall Unschärfen und Unendlichkeiten und Abschaltungen notwendig sind, aber ist das intuitiv, was bei der Definition von Quantenfeldern vor sich geht?

Ich denke, das nennt man das Wellenfunktional; dies verhält sich zum üblichen QFT-Bild wie das Schrödinger-Bild zum Heisenberg-Bild in QM. Leider weiß ich nicht viel mehr als den Namen.
Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies ein besseres physikalisches Bild für den Zustand eines Quantenfelds gibt. Der wellenfunktionale Raum ist wirklich hochdimensional.
Verwandte Fragen: physical.stackexchange.com/questions/248754/… und darin enthaltene Links.
Verwandte Frage 312006 .
In der Tat ist Ihr Grundzustand |ψ> genau richtig: ein unendliches Tensorprodukt von Oszillator-Grundzustands-Gauß-Operatoren, von denen jeder ähnlich ist | 0 ⟩ = ∫ D X | X ⟩ ⟨ X | 0 ⟩ ∼ ∫ D X   exp ⁡ ( − X 2 / 2 )   | X ⟩ . Die funktionale Gaußsche Funktion ist in allen Wellenfunktions-Intros von Schr enthalten. Für das allgemeine |ψ> siehe den Link.

Antworten (2)

Wie in einigen Kommentaren erwähnt, wird das Gewichtungsfunktional innerhalb des funktionalen Integrals manchmal als Wellenfunktional bezeichnet. Diese Art der funktionalen Darstellung kann als funktionale Schrödinger-Darstellung bezeichnet werden. Bitte beachten Sie die folgende Rezension von Roman Jackiw.

Für eine allgemeine Wechselwirkungsfeldtheorie ist die exakte Lösung für dieses Wellenfunktion natürlich unbekannt. Aber eine fundierte Schätzung einer ungefähren Wellenfunktion mit möglicherweise einer endlichen Anzahl freier Parameter kann zu nützlichen ungefähren Lösungen führen.

Diese Methode wurde von Jackiw in der obigen Übersicht vorgeschlagen. Dieses Variationsverfahren wurde verwendet, um die Störungsergebnisse von QED und QCD zu reproduzieren. (Siehe bitte diesen Artikel von Heinemann, Iancu, Martin, Vautherin).

Der Variationsansatz wird aktiv erforscht, um eine Erklärung für Quark Confinement zu erhalten, siehe eine kürzlich erschienene Arbeit von Vastag, Reinhardt und Campagnari. In 3 + 1-Dimensionen ist es jedoch schwierig, ohne Messgerätefixierung zu arbeiten, was Zweifel an den nicht störenden Schlussfolgerungen aufgrund des Gribov-Problems aufkommen lässt. In den meisten Fällen wird das Versuchswellenfunktional als Gaussian genommen.

Es ist sehr plausibel, dass dieses Verfahren auf alle Modelle in 1+1-Dimensionen angepasst werden kann, die durch eine Bogoliubov-Transformation gelöst werden können.

Außerdem gibt es eine bekannte nicht-Gaußsche Lösung für die reine Yang-Mills-Theorie, die als Kodama-Zustand bekannt ist, der durch die Exponentialfunktion des Chern-Simons-Funktionals gegeben ist. Diese Lösung erfüllt genau die Schrödinger-Funktionsgleichung. Dieses Wellenfunktional wird als unphysikalisch angesehen, aber bitte lesen Sie den folgenden Artikel von Witten, der einige interessante Eigenschaften dieses Zustands beschreibt.

Eine durch einen Lagrange und Randbedingungen definierte Quantenfeldtheorie kann zu unterschiedlichen Lösungen führen, die jeweils eine inäquivalente Quantisierung beschreiben. Somit besteht die Möglichkeit, dass diese unterschiedlichen Quantisierungen unterschiedlichen Lösungen der Vakuumwellenfunktionale entsprechen, sodass die Lösungen der funktionalen Schrödinger-Gleichungen plausibel nicht eindeutig sind.

Vielen Dank für die Bereitstellung so vieler Quellen! Auf meinem Niveau fällt es mir schwer, den letzten Absatz zu verstehen. Ich verstehe eine Quantisierung eines klassischen Systems als einen entsprechenden Lagrange- (im Sinne des Pfadintegrals behandelt) oder Hamilton-Operator. Meinst du, du hast eine Quantisierung, aber mehrere Grundzustände? Oder alternativ ein Hamiltonian/Lagrangeian, aber mehrere gültige Zeitentwicklungsoperatoren?
Ich meinte, dass es möglich ist, dass die Lösung für das funktionale Schrödinger nicht eindeutig ist und jede dieser Lösungen ein mögliches Quantensystem beschreiben kann.

Ich wollte direkt auf Ihre letzte Frage antworten.

Ja, Sie sind hier auf dem richtigen Weg. Sie sollten für jede Quantenfeldtheorie erwarten, dass es eine Reihe von Observablen gibt (ähnlich wie bei den Koordinatenoperatoren X ich in der Punktteilchen-Quantenmechanik), deren Eigenvektoren den Hilbertraum zugrunde legen. Diese Observablen sollten sogar lokale Observablen sein, wie die Observablen der Zeit-Null-Skalarfeldwerte ϕ ( X → , 0 ) .

Es gibt zwei Quellen für Komplikationen.

Erstens ist analytisches Kleingedrucktes erforderlich, um mit der Tatsache umzugehen, dass die Standorte der Observables X → sind kontinuierlich. Dies führt zu Verteilungen, Regularisierungen und Unendlichkeiten.

Zweitens haben die meisten interessanten QFTs eine beschränkte Dynamik. Für die skalare Feldtheorie haben Sie Glück und können den Hilbert-Raum mit Eigenvektoren der Feldwertobservablen (Modulo-Analyse-Kleingedrucktes) überspannen ϕ ( X → , 0 ) . Aber für die meisten anderen Lagrange-QFTs (Dirac, Maxwell, Yang-Mills und ihre verschiedenen Kombinationen) implizieren die Einschränkungen, dass die „Basis“ aller Eigenvektoren simultaner Feldwertoperatoren übervollständig oder inkohärent ist. (Zum Beispiel hat die von Ihnen vorgeschlagene elektrische und magnetische Feldwertbasis zu viele Freiheitsgrade. Das elektrische Feld ist im Grunde eine Impulsvariable, die mit dem Vektorpotential konjugiert ist. Die Verwendung zusätzlich zu den B-Wert-Operatoren ist wie der Versuch, sie zu überspannen ein Punkt-Teilchen-Hilbert-Raum mit Impuls- und Ortsoperatoren.)

Können Quantenfelder als Überlagerungen klassischer Felder angesehen werden?
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