Bedeutung von Fock-Space

Angenommen, Sie haben ein System, das durch einen Hilbert-Raum beschrieben wird$H$, zum Beispiel ein einzelnes Teilchen. Der Hilbert-Raum zweier nicht wechselwirkender Teilchen des gleichen Typs wie der von beschriebene$H$ist einfach das Tensorprodukt

Allgemeiner gesagt, für ein System von$N$Teilchen wie oben, ist der Hilbert-Raum

mit$H^0$definiert als$\mathbb C$(also das darunter liegende Feld$H$).

In QFT gibt es Operatoren, die die verschiedenen miteinander verflechten$H^N$s, das heißt, erzeugen und vernichten Teilchen. Typische Beispiele sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren$a^*$Und$a$. Anstatt sie anhand ihrer Wirkung auf jedes Paar zu definieren$H^N$Und$H^M$, ist es erlaubt, eine "umfassende" Definition des größeren Hilbert-Raums zu geben, der definiert wird, indem die direkte Summe aller Mehrteilchenräume genommen wird, nämlich

bekannt als der Fock-Hilbert-Raum von$H$und manchmal auch als bezeichnet$e^H$.

Aus physikalischer Sicht ist die obige allgemeine Definition des Fock-Raums unerheblich. Es ist bekannt, dass identische Teilchen eine bestimmte (Para-)Statistik beobachten, die den tatsächlichen Hilbert-Raum reduziert (durch Symmetrisierung/Antisymmetrisierung für den bosonischen/fermionischen Fall usw.).

Tolle Antworten, aber nur der Vollständigkeit halber ist es vielleicht veranschaulichend, ein Beispiel zu haben.

Angenommen, Ihre$H^1$enthält einige Ein-Teilchen-Zustände$|a\rangle$,$|b\rangle$usw. Der Fock-Raum hebt die Einschränkung auf , ein einzelnes Teilchen zu sein, und besteht aus$H^0$(was 1-dimensional ist),$H^1$,$H^2 = H \otimes H$, usw. Dies ermöglicht Zustände wie

• den Vakuumzustand, nennen wir ihn den leeren Ket$|\rangle$,
• alle Einzelteilchenzustände,$|a\rangle, |b\rangle, \ldots$,
• alle Zwei-Teilchen-Zustände,$|aa\rangle, |ab\rangle, |ba\rangle, \ldots$(Hinweis: Diese Konstruktion hält sie für unterscheidbar),

aber am wichtigsten

• jede Überlagerung der oben genannten , wie$\frac{e^{i\pi/4}}{\sqrt2}|\rangle + \frac12 |a\rangle - \frac12|aab\rangle\otimes\left(\frac1{\sqrt2}|a\rangle + \frac i{\sqrt2}|b\rangle\right)$.

Dieser Raum ist von Natur aus unendlich dimensioniert, selbst wenn Sie mit etwas Kleinem wie einem Qubit beginnen. Wenn Sie sich das Ergebnis anhand einer Basis vorstellen wollen, verketten Sie einfach die Listen der Basiszustände aller Komponenten:

Im trivialsten Fall hat das einzelne Teilchen also keine ausgeprägten Zustände$H^1$ist 1-dimensional. Es ist immer noch sinnvoll, einen Fiducial-Zustand auszuwählen$|{}\circ{}\rangle \in H^1$und konstruiere den Fockraum mit Basis

ein Beispiel für einen Zustand könnte beispielsweise ein kohärenter Zustand sein

und Sie haben ein schönes Beispiel dafür, warum man in einem harmonischen Oszillator von Erregungen wie von "Phononen" sprechen kann, obwohl nur ein einzelnes Teilchen schwingt!

Ja tut es. Wenn Sie möchten, bauen Sie aus den "kleinen" einen "großen" Hilbertraum.