Skalarer QFT-Fock-Raum

Ich möchte die folgende Beziehung des normal bestellten Produkts demonstrieren:

$\Omega\equiv:\exp{\left(-\int d^3k~a^{\dagger}(k)a(k)\right)}:=|0\rangle\langle0|.$

Ich habe die Vertauschungsrelation bewiesen$[\Omega,a^{\dagger}(p)]=-a^{\dagger}(p)\Omega$und ich muss die Identität des Fock-Raums verwenden

$1=|0 \rangle\langle 0|+\sum_{n=1}^{\infty}|p_1,p_2,...,p_n\rangle\langle p_1,p_2,...,p_n|.$

Irgendwelche Ideen, wie man vorgehen kann, um die erste Beziehung zu demonstrieren? Ich habe diese Kommutierungsrelation bewiesen, weil sie nützlich ist, aber ich weiß nicht, wie ich sie verwenden soll!

PS:$p$Und$k$bezeichnet Impulsvariablen,$|0\rangle$es ist der Vakuumzustand und$|p_1,p_2,...,p_n\rangle$es ist das$n$Teilchenzustand, wo die$i$-Teilchen haben$p_i$Schwung.