Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung von Quantenfeldern in der QFT

Eine kanonische Methode zur Durchführung der Quantenfeldtheorie besteht darin, mit einer Lagrangefunktion zu beginnen, beispielsweise der des freien Skalarfelds

L = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 M ϕ 2
Dann durch Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung, dh δ L = 0 , was die Klein-Gordon-Gleichung für das Feld erzeugen würde
( ◻ + M 2 ) ϕ = 0
Dann fahren wir mit verschiedenen Quantisierungsverfahren fort, die uns zum Ausdruck bringen ϕ in Bezug auf den Erstellungs-/Vernichtungsoperator.

Wenn ich jedoch QFT-Text lese, wird oft gesagt, dass die Euler-Lagrange-Gleichung in QFT nicht genau gilt und dass es verschiedene Quantenfluktuationen gibt, die für QFT charakteristisch sind.

Ich verstehe diese Aussage nicht, haben wir nicht mit der QFT begonnen, indem wir die Euler-Lagrange-Gleichung und in diesem Fall nur die KG-Gleichung verwendet haben? Haben wir nicht auf der Grundlage dieser Gleichung eine Quantisierung durchgeführt? Warum wird gesagt, dass die Quantisierung dazu führen würde, dass die ursprüngliche EL-Gleichung durch Quantenfluktuation verletzt wird? Kann jemand ein explizites Beispiel für eine Quantenfluktuation geben, die gegen die EL-Gleichung verstößt?

Im Pfadintegralformalismus gelten EL-Gleichungen nur in der Sattelpunktnäherung (was auf den ersten Blick eine „gute“ Näherung ist). Alle anderen Pfade, die zu den Übergangsamplituden beitragen, werden als Abweichungen von den EL-Gleichungen betrachtet.
Ich kopiere meinen Kommentar in die Antwort unten: Hallo, ich verstehe, dass EL im Path Integral Approach wahrscheinlich nicht benötigt wird. Aber wenn Sie Srednickis QFT-Buch haben, können Sie sich Abschnitt 3 ansehen, wo die EL-Gleichung (3.7) zur Feldlösung (3.14) führt. Dann verwendete er die Quantisierung in (3.28). Ich denke, in Schwartz' QFT-Buch geht er im Wesentlichen genauso vor. Das ist der Punkt wo ich nicht hinkomme
@JeanbaptisteRoux Das ist nicht ganz richtig. Die Bewegungsgleichungen gelten in allen Korrelatoren bis hin zu Kontakttermen.

Antworten (3)

Nein, wir beginnen nicht mit der Annahme von EL-Gleichungen für die Quantenfelder. Wir gehen zunächst von der Wirkung der Quantenfelder aus. Die Aufgabe, die die EL-Gleichungen in der klassischen Feldtheorie erfüllen, dh die zeitliche Entwicklung der Feldkonfiguration vorherzusagen, wird durch Auswertung des Propagators erledigt ⟨ ϕ ( X ) ϕ ( j ) ⟩ B. durch Ausführen des Pfadintegrals in der Aktionsformulierung von QFT. Nur wenn Sie die große Aktionsgrenze nehmen (d. h. S ≫ 1 ) sagt Ihnen das Pfadintegral, dass der einzige verbleibende Beitrag zu den Ausbreitungsamplituden von Feldern von den klassischen Pfaden kommt, die den EL-Gleichungen gehorchen. Die Schwinger-Dyson-Gleichungen geben Ihnen das QFT-Analogon klassischer EL-Gleichungen. Sie können die Korrekturen der EL-Gleichungen beispielsweise explizit sehen, wenn Sie die störungsbezogene Erweiterung der SD-Gleichungen für eine schwach gekoppelte QFT durchführen.

Hallo, ich verstehe, dass im Path Integral Approach EL wahrscheinlich nicht benötigt wird. Aber wenn Sie Srednickis QFT-Buch haben, können Sie sich Abschnitt 3 ansehen, wo die EL-Gleichung (3.7) zur Feldlösung (3.14) führt. Dann verwendete er die Quantisierung in (3.28). Ich denke, in Schwartz' QFT-Buch geht er im Wesentlichen genauso vor. Das ist der Punkt wo ich nicht hinkomme.
@TanTixuan Ich habe Schwartz im Moment nicht dabei, aber ich habe mir Section angesehen 3 von Srednicki. In einer Freifeldtheorie bleiben die klassische Green-Funktion und die Quanten-Green-Funktion gleich – einfach weil es in einer Freifeldtheorie keine Schleifen gibt. Srednicki beschäftigt sich in Section mit einer Freifeldtheorie 3 . Insbesondere verwendet er einfach die klassischen EL-Gleichungen, um die Maschinerie zu motivieren, die benötigt wird, um das Eigenwertproblem des KG-Hamilton-Operators zu lösen. Im Allgemeinen fangen Sie jedoch nur mit an 3.28 und die Quantenversion von 3.25 als Definition Ihrer QFT.
Hallo, die Freifeld-Schwinger-Dyson-Gleichung lautet nach meinem Verständnis so etwas wie (kopiert von Schwartz) ( ◻ X 1 + M 2 ) < ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ϕ ( X 4 ) ϕ ( X 3 ) >= − ich δ ( X 1 − X 2 ) < ϕ ( X 3 ) ϕ ( X 4 ) > . . . . Wenn EOM genau erfüllt ist, dann gehe ich davon aus, dass es keine Terme auf der rechten Seite geben sollte, dh die Delta-Terme.

  1. Es ist wahr, dass die Operatoren im Operatorformalismus (zB im Heisenberg-Bild) die Heisenberg-EOMs genau erfüllen (was in der Klein-Gordon-Theorie die Klein-Gordon-Gleichung ist).

  2. Geht man jedoch vom Operatorformalismus zum Pfadintegralformalismus (durch Einfügen unendlich vieler Vollständigkeitsrelationen 1 ) wird das Pfadintegral zu einem unendlichdimensionalen Integral über (sowohl On-Shell- als auch) Off-Shell-/Virtual-Field-Konfigurationen, bei denen die EOMs nicht unbedingt erfüllt sind.

    Insbesondere die EOMs innerhalb der Korrelatorfunktionen im Pfadintegralformalismus werden nur in einem gewissen Quantenmittelungssinn erfüllt, vgl. die Schwinger-Dyson (SD)-Gleichungen

    ⟨ Ω | T C Ö v { F [ ϕ ] δ S [ ϕ ; J ] δ ϕ ( X ) } | Ω ⟩ J   =   ich ℏ ⟨ Ω | T C Ö v { δ F [ ϕ ] δ ϕ ( X ) } | Ω ⟩ J   .
    Weitere Feinheiten ergeben sich durch das Zeitordnungssymbol T C Ö v in den Korrelatorfunktionen, vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag.

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1 Zur Herleitung siehe jedes gute Lehrbuch zu QM/QFT.

Die Heisenbergschen Feldoperatoren ϕ ^ ( X , T ) gehorchen zwar den EL-Gleichungen, Erwartungswerte dieser Operatoren jedoch nicht und erfordern Korrekturen. Beispielsweise gehorcht ein Erwartungswert, der zwei Feldoperatoren enthält

( ∂ X 2 − M 2 ) ⟨ 0 | T ϕ ( X ) ϕ ( j ) | ⟩ = − ich δ 3 ( X − j )
Der Begriff auf der rechten Seite wird als Kontaktbegriff bezeichnet.

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