Warum werden bei der Definition eines Klein-Gordon-Quantenfelds keine Vierervektoren verwendet?

Wie ich in den Kommentaren erwähnt habe, arbeiten P&S im Schrödinger-Bild, was bedeutet, dass die Operatorfelder zeitunabhängig sind. Natürlich ist im Heisenberg-Bild die Lösung der Klein-Gordon-Gleichung zeitabhängig (und hat dann vier Vektoren). Um dies zu sehen, schreiben wir die Klein-Gordon-Gleichung auf:

$$\begin{equation} \left(\partial^2 + m^2 \right) \phi(x)=0 \end{equation}$$ Wo $g=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. Dann können die Lösungen im Heisenberg-Bild geschrieben werden als: $$\begin{equation} \phi(x) = e^{\pm i p_\mu x^\mu} \end{equation}$$ was sich leicht nachweisen lässt: $$\begin{equation} \begin{aligned} \partial^2 \phi & = \partial_\mu \partial^\mu \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\& = \partial_\mu \left(\pm i p^\mu\right) \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\& = \left(\pm i p^\mu\right) \left(\pm i p_\mu\right) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = - p_\mu p^\mu e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -(E^2 - \mathbf{p}^2) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -m^2 e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -m^2 \phi \end{aligned} \end{equation}$$ und so: $$\begin{equation} \left(\partial^2 +m^2\right)\phi = \left(-m^2 +m^2\right)\phi = 0 \end{equation}$$ Es ist normal, die Lösung in Form von positiven Frequenzlösungen und negativen Frequenzlösungen zu schreiben: $$\begin{equation} \phi(x)=\phi_+(x) + \phi_-(x) = a e^{- i p_\nu x^\nu} + b e^{+ i p_\nu x^\nu} \tag{1} \end{equation}$$ Natürlich müssen wir auch über alle Energie-Impuls-Werte summieren $p_\mu$(weil gleichung $(1)$ist eine Lösung für jeden Wert von $p_\mu$). Daher lautet die allgemeine Lösung: $$\begin{equation} \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + b(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \end{equation}$$ Wo $N$ist eine Normalisierungskonstante.

Um zu sehen, wie man zwischen dem Dirac- und dem Schrödinger-Bild umschaltet, verweise ich auf den Abschnitt$2.4$von P&S.

Bearbeiten Ich konnte mir nicht helfen und werde dies schnell hinzufügen:

P&S diskutieren das echte Klein-Gordon-Feld, was bedeutet:

$$\phi = \phi^*$$ und so: $$\begin{equation} \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i p^\mu x_\mu} + b(\mathbf{p}) e^{ip^\mu x_\mu}\right] = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N^*} \; \left[ a^*(\mathbf{p}) e^{ ip^\mu x_\mu} + b^*(\mathbf{p}) e^{-i p^\mu x_\mu}\right] \end{equation}$$ was impliziert: $$\begin{equation} \begin{array}{cc} a(\mathbf{p}) = b^*(\mathbf{p}) \; ,& b(\mathbf{p}) = a^*(\mathbf{p}) \end{array} \end{equation}$$ Und $N$muss echt sein. Das reelle Feld kann also geschrieben werden als: $$\begin{equation} \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a^*(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \end{equation}$$

Nach den Kommentaren und der Antwort von Hunter denke ich, dass der Unterschied zwischen diesen beiden Dingen darin liegt, dass in Schrödingers Bild die$\psi (\vec x)$erfüllt die Gleichung

$$\bigg (\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2 \bigg)\psi (x) = 0$$ Wo $\omega_p = \sqrt{|\vec p|^2 + m^2}$.

$$\hat\psi(\vec x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \Bigl[a(\vec p) e^{i\vec k. \vec x} + a^\dagger(\vec p) e^{-i\vec k. \vec x} \Bigr]$$

Im Fall des Heisenberg-Bildes transformieren sich die Schrödinger-Leiteroperatoren jedoch wie (siehe P&S Abschnitt 2.4)

$$a_h(\vec p) = e^{iHt}a(\vec p)e^{-iHt} = a(\vec p)e^{-iE_pt}$$ $$a^\dagger_h(\vec p) = e^{iHt}a^\dagger(\vec p)e^{-iHt} = a(\vec p)e^{iE_pt}$$

Setzen Sie dies nun in den Ausdruck um, um die Heisenberg-Darstellung des Feldes zu erhalten,

$$\hat\psi_h(\vec x ,t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \Bigl[a(\vec p) e^{ip_\mu x^\mu} + a^\dagger(\vec p) e^{-ip_\mu x^\mu} \Bigr]$$ Wo $p^0 = E(\vec p)$

Nun erfüllt dieser Operator die Gleichung

$$i\frac{\partial}{\partial t} \hat\psi_h = [\hat\psi_h,\hat H]$$