Erweitern des freien Skalarfeldes in Bezug auf Leiteroperatoren

Ich habe einige Schwierigkeiten mit den Feinheiten der Erweiterung eines Feldes in Bezug auf Leiteroperatoren. Beachten Sie, dass dies nicht mit der anderen verwandten Frage identisch ist, die ich gestellt habe. Von Peskin / Schröder;

Zu jeder festen Zeit$t_0$wir können natürlich erweitern$\phi$in Bezug auf Leiteroperatoren

$$\phi(\textbf{x},t_0)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{i\textbf{p.x}}+a_p^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$$ Dann zu erhalten$\phi(\textbf{x},t)$für$t\neq t_0$wir schalten einfach auf das Heisenberg-Bild um $$\phi(\textbf{x},t)=e^{iH(t-t_0)}\phi(\textbf{x},t_0)e^{-iH(t-t_0)}.$$

Ich finde die Notation etwas schwammig. Definieren$\phi^S(\textbf{x})=\phi(\textbf{x},t_0)$. Dann$\phi^S(\textbf{x})$ist zeitunabhängig und entspricht dem Schrödinger Bild von$\phi(x)$. Wir können dann natürlich die konjugierten Impulse definieren$\pi^S(\textbf{x})=\pi(\textbf{x},t_0)$im Schrödinger-Bild. Zusammen erfüllen diese die (gleichzeitigen) Kommutierungsbeziehungen. Wir können dann die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einführen und den Hamiltonian diagonalisieren.

$$\phi(\textbf{x},t_0)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_p(t_0)e^{i\textbf{p.x}}+a_p(t_0)^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$$

Mein Hauptproblem liegt in der "Zeitabhängigkeit" von$a_p$Und$a^\dagger_p$. Diese Operatoren werden auf der Zeitscheibe definiert$t=t_0$. Insbesondere$a_p=a_p(t_0)$und der Vakuumzustand ist definiert als der Zustand, der vernichtet wird durch$a_p$. Aber$a_p$ist wirklich nur für definiert$t=t_0$. Wir könnten also eine andere Zeitscheibe auswählen$t=t_1$und erweitern Sie das Feld in Bezug auf neue Leiteroperatoren

$$\phi(\textbf{x},t_1)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_p(t_1)e^{i\textbf{p.x}}+a_p(t_1)^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$$

Da der Vakuumzustand auch durch diese Vernichtungsoperatoren vernichtet werden muss, bedeutet dies, dass das Feld vollständig zeitunabhängig ist?

Edit: Auch Peskin / Schroeder erwähnen keine Zeitscheiben, sie sagen lediglich, dass sie im Schrödinger-Bild arbeiten. Ist die Art und Weise, wie ich die Dinge oben definiert habe, im Wesentlichen das, was los ist - dh sie haben ihre Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren zu einer Referenzzeit definiert ($t=0$wie es aussieht) und dies einfach völlig implizit gelassen? Ihre Erschaffungsoperatoren würden also ein Teilchen mit Impuls erzeugen$\textbf{p}$zum Zeitpunkt$t=0$während meins auf der Zeitscheibe definiert ist$t=t_0$würde ein Teilchen mit Impuls erzeugen$\textbf{p}$zum Zeitpunkt$t=t_0$?