Lösen der Klein-Gordon-Gleichung durch Fourier-Transformation

Question

Lösen der Klein-Gordon-Gleichung durch Fourier-Transformation

Physik
Fourier-Transformation
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Wille

Ich habe einen persönlichen Satz von Notizen über QFT geschrieben und schreibe derzeit einen Abschnitt über die Lösung der Klein-Gordon (KG)-Gleichung. In vielen Texten, die ich gelesen habe, beginnt der Autor damit, den Lösungsansatz zu formulieren $\phi$ im Sinne einer räumlichen Fourier-Transformation für feste Zeiten $t$ ,

ϕ (X, T) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D^{3} k}{(2 π)^{3}} \tilde{ϕ} (k, T) e^{ich k \cdot X}

$\phi(\mathbf{x},t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$ Sie fahren dann fort, die KG-Gleichung zu lösen, indem sie das notieren

(◻ + M^{2}) ϕ = (\partial_{T}^{2} - \nabla^{2} + M^{2}) ϕ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D^{3} k}{(2 π)^{3}} e^{ich k \cdot X} [\partial_{T}^{2} + k^{2} + M^{2}] \tilde{ϕ} (k, T) = 0

$(\Box + m^{2})\phi = (\partial_{t}^{2}-\nabla^{2}+m^{2})\phi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\left[\partial_{t}^{2}+k^{2}+m^{2}\right]\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)=0$ Aber das verwirrt mich, weil wir nicht darüber nachdenken

ϕ

$\phi$ zu festen Zeitpunkten

t

$t$ ? Ist die obige nur formale Manipulation unter Berücksichtigung der Zeitableitung

\partial_{t}^{2} \tilde{ϕ}

$\partial_{t}^{2}\widetilde{\phi}$ zu einem festen Zeitpunkt auszuwerten

t

$t$ (dh

\partial_{t}^{2} \tilde{ϕ} |_{t}

$\partial_{t}^{2}\widetilde{\phi}\big\vert_{t}$ )?

Die Schritte danach verstehe ich, wie $e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$ nicht null ist, benötigen wir dies, damit das Integral null ist $\forall\;\mathbf{k}$ , Das

[\partial_{T}^{2} + k^{2} + M^{2}] \tilde{ϕ} (k, T) = 0

$\left[\partial_{t}^{2}+k^{2}+m^{2}\right]\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)=0$ und das gibt uns die allgemeine Lösung

\tilde{ϕ} (k, T) = A (k) e^{- ich E T} + B (k) e^{ich E T}

$\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)=a(\mathbf{k})e^{-iEt}+b(\mathbf{k})e^{iEt}$ Wo

E \equiv k_{0} = \sqrt{k^{2} + m^{2}}

$E\equiv k_{0}=\sqrt{k^{2}+m^{2}}$ .

Es ist wirklich der erste Teil, der mir Probleme bereitet.

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Lösen der Klein-Gordon-Gleichung durch Fourier-Transformation

Timäus · Answer 1

Wenn zu jeder Zeit $t$ , $\phi(\mathbf{x},t)$ ist eine Funktion, die schön genug ist, dass sie eine Fourier-Transformation hat

ϕ (X, T) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{D^{3} k}{(2 π)^{3}} \tilde{ϕ} (k, T) e^{ich k \cdot X},

$\phi(\mathbf{x},t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}},$ Wo

\tilde{ϕ} (k, t)

$\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)$ ist nur der Fourier-Koeffizient zu diesem Zeitpunkt

t .

$t.$

Aber jetzt fragen Sie, dass die ganze Funktion $\phi(\mathbf{x},t)$ (jederzeit) eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung sein. Das bedeutet, dass die Funktion zu verschiedenen Zeiten die richtigen Ableitungen haben muss. Wenn es zu jedem Zeitpunkt eine Fourier-Transformation gibt, dann gibt es zu jedem Zeitpunkt Fourier-Koeffizienten. Wenn sich also die Welle zeitlich auf eine bestimmte Weise entwickelt, müssen die Fourier-Koeffizienten zu unterschiedlichen Zeiten Werte haben, die genau richtig sind, damit die Welle die richtigen zeitlichen Ableitungen hat.

OK, also ist die Klein-Gordon-Gleichung zweiter Ordnung, damit wir die Anfangsfunktion finden können $\phi(\mathbf{x},t=0)$ und seine Fourier-Transformation, nennen Sie es $\theta(\mathbf{k})$ und wir können die anfängliche zeitliche Ableitung nehmen $\partial_t \phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$ und es ist Fourier-Transformation, nennen Sie es $\omega(\mathbf{k}).$ Dann kennen wir die anfänglichen Fourier-Koeffizienten und wir kennen ihre Ableitungen, und die zweite Ableitung wird erzwungen, damit sie die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt, also

$\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)=\theta(\mathbf{k})\cos(E_kt) + \frac{1}{E_k}\omega(\mathbf{k})\sin(E_kt).$

Warum? Weil es die richtigen Anfangswerte und die richtige anfängliche zeitliche Ableitung hat und die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt, wenn $E_k=\sqrt{m^2+k^2}.$

Wir haben also zu jeder Zeit Fourier-Koeffizienten unserer Welle. Sie sind so ausgelegt, dass die Funktionen die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, wenn sich die Fourier-Koeffizienten mit der Zeit gemäß einer Gleichung zweiter Ordnung entwickeln.

Vielleicht habe ich deine Frage falsch verstanden. Aber die Idee ist, dass Sie aus der anfänglichen Welle und der anfänglichen zeitlichen Ableitung der Welle genügend Anfangsbedingungen erhalten, um die anfänglichen Fourier-Koeffizienten und die anfängliche zeitliche Änderungsrate der Fourier-Koeffizienten zu kennen, was alle Freiheiten ist, die Sie haben. Der Rest ist bestimmt, dass sich die Fourier-Koeffizienten zeitlich auf eine bestimmte Weise entwickeln müssen, damit sich die Welle zeitlich auf eine bestimmte Weise entwickelt.

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Zu jedem Zeitpunkt erhalten Sie eine Fourier-Transformation. Und Sie fragen sich dann, wie diese Fourier-Koeffizienten (zeitlich) voneinander abhängen. Damit sich die Welle zeitlich durch eine Gleichung zweiter Ordnung entwickelt, muss sich die Fourier-Transformation zeitlich durch eine Gleichung zweiter Ordnung entwickeln. Aber die Transformation macht eine punktweise Evolution, die einfacher ist, und deshalb machen wir das.

Wenn Sie zu jedem Zeitpunkt die Fourier-Transformation vornehmen , erhalten Sie zu jedem Zeitpunkt eine Fourier-Transformation, also erhalten Sie a $\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)$ das ist selbst eine Funktion der Zeit. Es hat also eine partielle Ableitung $\partial_t \widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)\neq 0.$

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Nehmen wir an, wir wollen lösen

(\partial_{T}^{2} - \nabla^{2} + M^{2}) ϕ = .0

$\left(\partial_t^2-\nabla^2+m^2\right)\phi=.0$ Wir beginnen damit, das zu bemerken

(A_{k} e^{i k \cdot x} + B_{k} e^{- i k \cdot x}) \cos (t \sqrt{m^{2} + k^{2}})

$\left(A_ke^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}+B_ke^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right)\cos(t\sqrt{m^2+k^2})$ Und

\frac{(C_{k} e^{i k \cdot x} + D_{k} e^{- i k \cdot x})}{\sqrt{m^{2} + k^{2}}} \sin (t \sqrt{m^{2} + k^{2}})

$\frac{\left(C_ke^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}+D_ke^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right)}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2})$ sind beide Lösungen für alle

k,

$\mathbf{k},$ beliebig

A_{k}, B_{k}

$A_k, B_k$ und alle

C_{k}, D_{k}

$C_k, D_k$ .

Großartig.

Und die erste Lösung hat eine zeitliche Änderungsrate von null $t=0$ und die zweite hat einen Nullwert bei $t=0.$ Also, wenn unsere erste Welle war $\phi(\mathbf{x},t=0)=3\cos(3x)$ und hatte eine anfängliche zeitliche Änderungsrate von gleich $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}=4\cos(2y)$ Dann wissen wir genau, was die Lösung ist $\left(\partial_t^2-\nabla^2+m^2\right)\phi=0$ Ist:

ϕ (X, T) = 3 \cos (3 X) \cos (T \sqrt{M^{2} + 3^{2}}) + \frac{4}{\sqrt{M^{2} + 2^{2}}} \cos (2 j) Sünde (T \sqrt{M^{2} + 2^{2}}) .

$\phi(\mathbf{x},t)=3\cos(3x)\cos(t\sqrt{m^2+3^2})+\frac{4}{\sqrt{m^2+2^2}}\cos(2y)\sin(t\sqrt{m^2+2^2}).$

Und jede endliche Linearkombination von $e^{\pm i\mathbf k \cdot \mathbf x}$ für den Anfangswert $\phi(\mathbf{x},t=0)$ ist so einfach handhabbar, indem man eine endliche lineare Kombination von Lösungen wie hat $e^{\pm i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\cos(t\sqrt{m^2+k^2}).$ Und ähnlich, wenn sich die anfängliche Zeitänderungsrate ändert $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$ ist eine endliche Linearkombination von $e^{\pm i\mathbf k \cdot \mathbf x}$ dann fügen wir Terme hinzu, die eine endliche Linearkombination von sind $\frac{e^{\pm i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2}).$

Alles, was wir tun, ist, Lösungen zu nehmen und sie in Kombinationen zu addieren, die uns die richtigen Anfangswerte und die richtige anfängliche Zeitrate der Änderungen liefern. Und es ist super einfach, wenn die Anfangsbedingungen zufällig eine endliche Linearkombination von Sinus und Cosinus sind.

Aber warte. Was wäre, wenn statt einer endlichen linearen Kombination von Begriffen wie $e^{\pm i\mathbf k \cdot \mathbf x}$ die Anfangsbedingung war nur eine Funktion, die eine Fourier-Transformation hat? Dann kannst du das gleiche versuchen. Schreiben Sie Ihren Anfangswert $\phi(\mathbf{x},t=0)$ und Ihre anfängliche zeitliche Änderungsrate $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$ als inverse Fourier-Transformationen von Sinus und Cosinus räumlich. Ersetzen Sie dann eine räumliche $\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ mit der Funktion $\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)\cos(t\sqrt{m^2+k^2})$ und ersetzen die räumliche Funktion $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ mit der Funktion $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)\cos(t\sqrt{m^2+k^2}).$ Warum? Weil jede davon die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt. Und so für $t=0$ die inverse Fourier-Transformation davon ist der Anfangswert der Welle $\phi(\mathbf{x},t=0).$ Du nimmst also eine $t=0$ räumliche Fourier-Transformation von $\phi(\mathbf{x},t=0)$ dann Ersetzen jeder räumlichen Fourier-Komponente $e^{\pm i \mathbf k \cdot \mathbf x}$ mit $e^{\pm i \mathbf k \cdot \mathbf x}\cos(t\sqrt{m^2+k^2}).$ Dies löst die Klein-Gordon-Gleichung, hat die richtigen Anfangswerte und hat $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}=0.$

Als nächstes nehmen Sie Ihre anfängliche zeitliche Änderungsrate $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$ als inverse Fourier-Transformation von Sinus und Cosinus räumlich. Ersetzen Sie dann eine räumliche $\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ mit der Funktion $\frac{\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2})$ und ersetzen die räumliche Funktion $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ mit der Funktion $\frac{\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2}).$ Warum? Weil jede davon die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt. Und doch für $t=0$ Wenn Sie die inverse räumliche Fourier-Transformation verwenden, erhalten Sie eine Funktion, die den Wert Null hat $t=0$ und hat eine anfängliche zeitliche Änderungsrate, die gleich ist $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$ der Welle $\phi(\mathbf{x},t=0).$

Warum zwei Lösungen? Weil diese zweite auch die Klein-Gordon-Gleichung löst und einen Anfangswert von Null hat, aber eine anfängliche zeitliche Änderungsrate hat, die gleich ist $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}.$ Und der erste löst die Klein-Gordon-Gleichung, hat einen Anfangswert, der gleich ist $\phi(\mathbf{x},t=0)$ und hat eine anfängliche zeitliche Änderungsrate von Null.

Wenn Sie also diese beiden Lösungen addieren, erhalten Sie eine Funktion, die (1) die Klein-Gordon-Gleichung löst, (2) den richtigen Anfangswert hat und (3) die richtige anfängliche zeitliche Änderungsrate hat. Das wolltest du die ganze Zeit.

Wenn Sie das verstehen, als die erste Welle war $\phi(\mathbf{x},t=0)=3\cos(3x)$ und hatte eine anfängliche zeitliche Änderungsrate von gleich $\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}=4\cos(2y)$ dann war er die Lösung $\left(\partial_t^2-\nabla^2+m^2\right)\phi=0$ Ist:

ϕ (X, T) = 3 \cos (3 X) \cos (T \sqrt{M^{2} + 3^{2}}) + \frac{4}{\sqrt{M^{2} + 2^{2}}} \cos (2 j) Sünde (T \sqrt{M^{2} + 2^{2}}) .

$\phi(\mathbf{x},t)=3\cos(3x)\cos(t\sqrt{m^2+3^2})+\frac{4}{\sqrt{m^2+2^2}}\cos(2y)\sin(t\sqrt{m^2+2^2}).$ Wenn Sie das verstehen, dann ist alles andere dieselbe Idee, die auf endliche und "unendliche" Linearkombinationen angewendet wird

e^{\pm i k \cdot x}

$e^{\pm i \mathbf k \cdot \mathbf x}$ für die Anfangsbedingungen.

Ich habe mich gefragt, warum Autoren einfach etwas in der Art schreiben: "Wir betrachten eine räumliche Fourier-Transformation zu einem festen Zeitpunkt $t$ " (definiert wie oben in meinem Beitrag) und dann enden sie mit a $\ddot{\phi}$ Term (der sicherlich Null sein sollte, wenn wir ihn zu einem festen Zeitpunkt betrachten? Oder ist es einfach so, dass wir, da dieser feste Zeitpunkt willkürlich ist, berücksichtigen müssen, wie sich die räumliche Transformation im Laufe der Zeit entwickelt?)
@Will Ja, die Transformation entwickelt sich mit der Zeit, während sich die Welle mit der Zeit entwickelt. Für jede feste Zeit, in der es eine Transformation gibt, können Sie herausfinden, wie sich die Welle in der Zeit entwickelt, indem Sie herausfinden, wie sich die Transformation in der Zeit dreht. Ich habe die Antwort bearbeitet.
Danke für die aktualisierte Antwort. Ich glaube, ich verstehe es jetzt; also entwickeln wir die Welle punktweise, was erfordert, dass wir wissen, wie sich die Fourier-Koeffizienten an jedem Punkt ändern, daher ist ihre Ableitung zu jedem Zeitpunkt ungleich Null?!
Danke für die ausführliche Antwort. So ist der Punkt zum Mitnehmen, dass die KG-Gleichung zweiter Ordnung ist, und daher müssen wir zwei Anfangsbedingungen angeben: den Wert von $\phi$ bei $t=0$ und den Wert seines Derivats $\partial_{t}\phi$ bei $t=0$ . Dies ermöglicht es uns dann, seine Form zu jedem späteren Zeitpunkt durch Lösen der KG-Gleichung zu bestimmen. Wäre es richtig zu sagen, dass wir konstruieren? $\phi$ in Bezug auf seine räumliche Fourier-Transformation zu einem gegebenen Zeitpunkt $t$ , und dann bestimmen wir, wie sich seine Fourier-Koeffizienten im Laufe der Zeit entwickeln, sodass wir seine Form für alle Zeitpunkte angeben können $t$ ?
Könnte man die KG-Gleichung auch durch eine Separation der Variablen lösen, also so, dass unser Ansatz ist $\phi (\mathbf{x}, t) =X(\mathbf{x})T(t)$ und dann ist die allgemeine Lösung eine (kontinuierliche) Linearkombination dieser (in Bezug auf eine ganze Zahl)?
@Will Einige zweite Ordnung erfordern nur eine Randbedingung (z. B. Laplace), einige erfordern zwei (z. B. Welle), einige können mehr erfordern (z. B. F = ma für einige Potentiale). Wir konstruieren $\phi$ in Bezug auf seine räumliche Fourier-Transformation finden Sie dann heraus, wie sich diese ändern, aber mit zwei vollständigen Sätzen von Anfangsbedingungen, weil zeitlich zweiter Ordnung. Sie können es sich als Trennung von Variablen vorstellen, außer dass wir auf Fourier-Weise nie nach dem räumlichen Teil lösen mussten (ich habe das aus Gründen der Übersichtlichkeit getan), wir könnten es als Fourier-Summe (kontinuierlich) mit zeitveränderlichen Koeffizienten belassen.
Ah okay. Wäre es richtig zu sagen, dass wir konstruieren? $\phi$ in Bezug auf seine räumliche Fourier-Transformation zu einem gegebenen Zeitpunkt $t$ , und dann bestimmen wir, wie sich seine Fourier-Koeffizienten im Laufe der Zeit entwickeln, sodass wir seine Form für alle Zeitpunkte angeben können $t$ ? (Das verlangen wir $\partial^{2}_{t}\phi\neq 0$ zu jedem Zeitpunkt, damit wir die Form der Lösung für bestimmen können $\phi$ nachfolgenden Zeitpunkten).
@Will Es kann Null sein, wenn die Transformation dabei Null ist $\mathbf k.$ Sie müssen es sich schwerer machen, als es sein muss. Erwägen Sie, die Fourier-Transformation zu jedem anderen Zeitpunkt durchzuführen. Sie möchten sehen, wie diese miteinander zusammenhängen. Sie wissen, dass die Kenntnis der Transformation zu verschiedenen Zeiten Ihnen die Funktion zu verschiedenen Zeiten mitteilt, sodass die Transformationen bestimmte Werte haben müssen, um die richtigen zeitlichen Ableitungen der Welle zu haben. Welche Werte? Wenn Sie also die richtige Kombination von Ableitungen nehmen, erhalten Sie Null, und Sie wissen, wie sich räumliche Ableitungen auf Transformationen auswirken. Sie sind also fertig.
Ja, sorry, das meinte ich (habe mich nicht gut ausgedrückt). Vielen Dank für Ihre Hilfe!
Schauen Sie sich en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93von_Neumann_theorem und sein Versagen in unendlichen Dimensionen an, was bei QFT der Fall ist. Um mehr darüber zu erfahren, bietet das Buch von Peter Woit meiner Meinung nach eine gute Diskussion math.columbia.edu/~woit

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