Sind alle quantenskalaren Felder mit dem Klein-Gordon-Feld verwandt?

In dem Buch „Quantum Field theory and the Standard Model“ von Matthew Schwartz stellt der Autor fest:

In der Quantenfeldtheorie arbeiten wir im Allgemeinen im Heisenberg-Bild, wo alle Zeitabhängigkeiten in Operatoren wie z ϕ Und A P . Für freie Felder die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für jeden Impuls P im Quantenfeld sind nur die eines einfachen harmonischen Oszillators. Diese Operatoren sollten genügen A P ( T ) = e − ich ω P T A P Und A P † ( T ) = e ich ω P T A P † , Wo A P Und A P † sind zeitunabhängig. Dann können wir ein quantenskalares Feld definieren als

ϕ 0 ( X , T ) = ∫ D 3 P ( 2 π ) 3 1 2 ω P ( A P e − ich P X + A P † e ich P X )

mit P μ = ( ω P , P ) Und ω P = | P | .

Nun dachte ich zunächst, der Autor würde das KG-Feld nur als ein Beispiel präsentieren. Ich dachte auch, dass diese Form des Schreibens ϕ war nur für das KG-Feld, schließlich wurde es entwickelt, damit das Feld die masselose KG-Gleichung erfüllt.

Mit dieser Aussage scheint der Autor zu implizieren, dass dies für alle Quantenskalarfelder gilt . Ist das wahr? Ich meine, diese exakt gleiche Erweiterung mit in einem Fock-Raum definierten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gilt für alle Quantenskalarfelder?

Wenn ja, was unterscheidet einen Bereich vom anderen?

Und warum sollte dies so allgemein sein, wenn es von einem sehr einfachen Fall abgeleitet wurde?

Welches Buch? Welcher Autor? Auch die von Ihnen zitierte Passage scheint mir nicht zu implizieren, dass die Moduserweiterung für alle Felder gilt. Es bedeutet, dass, wenn Ihnen ein Erstellungs- / Vernichtungsoperator gegeben wird A P , A P † , dann können Sie das Feld so definieren. Der Punkt ist, dass Sie diese Operatoren normalerweise nicht für nicht freie Felder erhalten.
Ich habe vergessen, das Buch und den Autor zu erwähnen, ich habe es jetzt getan. Was mich verwirrt ist: Diese Moduserweiterung wurde abgeleitet, damit das Feld eine bestimmte PDE erfüllt, nämlich ( ◻ + M 2 ) ϕ = 0 . Aber soweit ich aus der klassischen Feldtheorie weiß, hat jedes Feld seine eigene Bewegungsgleichung, die von seiner eigenen Lagrangian stammt. Meine Frage könnte besser formuliert sein als: Sind alle freien Skalarfelder mit dem Klein-Gordon-Feld identisch? Denn diesen Eindruck erhalte ich aus diesem Auszug.

Antworten (2)

Beachten Sie, dass der von Ihnen zitierte Auszug lautet:

Für freie Felder die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für jeden Impuls P im Quantenfeld sind nur die eines einfachen harmonischen Oszillators.

Der Autor impliziert also, dass alle freien , dh nicht wechselwirkenden Skalarfelder gleich sind (abgesehen von ihrer Masse), was wahr ist, weil die Unterschiede zwischen den Feldern auf ihre unterschiedlichen Wechselwirkungen zurückzuführen sind.

Das Problem ist, dass die Zustände eines wechselwirkenden Feldes keine Fock-Zustände sind. Tatsächlich kennen wir die Zustände eines wechselwirkenden Feldes nicht, da wir die Gleichungen für sie nicht lösen können und stattdessen auf die Verwendung der Störungstheorie zurückgreifen müssen. Das heißt, wir wissen auch nicht, was die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind.

Danke John Rennie. Wenn es also um QFT geht, ist das einzige skalare freie Feld das Klein-Gordon-Feld? Das verwirrt mich ein wenig, weil ich mir vorgestellt habe, dass es neben der KG-Gleichung noch andere Bewegungsgleichungen für freie Felder in der QFT geben könnte.
@ user1620696 Nun, zusätzlich zu ihren unterschiedlichen Wechselwirkungen haben Sie immer noch Unterschiede zwischen den Spintransformationen und Kommutierungsbeziehungen zwischen den freien Feldern, selbst im Fall ohne Wechselwirkung. Aber all das ist in die Definitionen der Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren eingebrannt
Das KG-Feld unterscheidet sich also vom Dirac-Feld, weil es Spin 0 ist und daher ein Boson, was Konsequenzen hat.
Und das Photonenfeld unterscheidet sich von beiden, weil es sich unter Drehungen umwandelt, das KG-Feld dagegen nicht.
@JerrySchirmer: Die Frage bezog sich auf freie Skalarfelder . Weder das Dirac-Feld noch das Photon sind Skalarfelder.
@ user1620696: Ja, das einzige freie Skalarfeld ist das KG-Feld.

Wie John Rennies Antwort feststellte, interagierende Fälle wie ϕ 4 Theorie hat diese Form nicht. Sie können die von Ihnen zitierte Integraldarstellung zeigen ϕ ^ hat einen Vakuum-Erwartungswert von null, was Ihnen sagen sollte, dass das Highs-Feld etwas anderes ist; Tatsächlich liegt dies an einem solchen quartischen Potentialterm, der zu einer nichtlinearen Differentialgleichung führt, deren Lösungen keinen Vektorraum umfassen. Das scheitert etwas an dem Versuch, eine solche integrale Darstellung bereitzustellen.

Es ist auch erwähnenswert, dass Skalarfelder, die eine homogene lineare Gleichung wie KG erfüllen, in einer allgemein gekrümmten Raumzeit eine analoge Integraldarstellung haben, in der die Koeffizienten der Leiteroperatoren die klassischen Lösungen sind, was nicht erwartet werden kann exp ± ich P ⋅ X in den meisten Raumzeiten.

Sind alle quantenskalaren Felder mit dem Klein-Gordon-Feld verwandt?
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