Ich habe gerade mit dem Studium der Quantenfeldtheorie begonnen und folge dabei dem Buch von Peskin und Schroeder. Während wir also das Klein-Gordon-Feld quantisieren, erweitern wir das Feld Fourier und arbeiten dann nur im Impulsraum. Wozu braucht man diese Erweiterung?
Freie Gleichungen sind linear, also sind Exponentiale ihre Lösungen. Daher konstruieren wir eine lineare Superposition von Exponentialen, um einen allgemeinen Fall zu umfassen.
Wechselwirkungen sollen Amplituden bestimmter Wellen in diesen Überlagerungen verändern.
Zunächst einmal ist dies nur ein Basiswechsel, den wir vornehmen müssen. Außerdem sollten wir immer eine Basis wählen, die unsere Berechnungen einfacher und hoffentlich intuitiver macht. Für ein einfacheres Beispiel - versuchen Sie einfach, das Volumen einer Kugel in kartesischen Koordinaten zu finden, es ist einfach eine schlechte Wahl.
Zweitens müssen Sie keine Fourier-Basis verwenden, meines Wissens kann alles - Schleifenrenormalisierung usw. - auf Positionsbasis durchgeführt werden.
Nun, warum die Fourier-Basis eine bequeme Wahl ist:
(1) Es vereinfacht Ableitungsausdrücke in der Lagrange-Funktion – wie üblich verwandelt die Fourier-Basis Ableitungsausdrücke in algebraische Ausdrücke, die viel einfacher zu manipulieren sind.
(2) Wenn es intuitiver ist - auf einer Fourier-Basis geschrieben, sind die Feynman-Regeln in Bezug auf den Impuls. So bleibt zum Beispiel an den Scheitelpunkten der Impuls erhalten - es ist nur eine schöne, ordentliche Art, darüber nachzudenken, was am Scheitelpunkt passiert.
(3) Selbst wenn Sie im Positionsraum beginnen, wird eine Methode zum Ausführen der Integrale, auf die Sie stoßen werden, wenn Sie für Ihre Schleifenausdrücke schreiben, in den Impulsraum gehen - also streichen Sie diesen Schritt von Anfang an.
(4) (in Anlehnung an Viberts Kommentar) Ebene Wellen sind die Basis, auf der wir das Experiment durchführen. Das heißt, wir senden Wellenpakete hoch lokalisiert im p-Raum ein, dh das ist die exakte Lösung, um die wir herum stören.
Ich denke, es ist auch wichtig, die physikalische Bedeutung der Fourier-Moden im Zusammenhang mit QFT hervorzuheben. Die Fourier-Modi und im Kontext des quantisierten Klein-Gordon-Feldes beispielsweise Teilchen mit Impuls erzeugen und zerstören beziehungsweise. Nämlich wenn ist also das Vakuum der Theorie
Vibert
Eduardo Guerras Valera
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