Reales Skalarfeld: Inwiefern sind die Minkowski-Modi vollständig?

Bei Betrachtung eines echten Skalarfeldes mit Lagrange

$$\mathcal{L} = - \frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2$$ die Bewegungsgleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung $(\Box_{x} - m^2) \phi(x)=0$.

In Texten über QFTs in gekrümmten Raumzeiten die Quantisierung des Feldes$\phi$wird durch Summieren über Minkowski-Modi durchgeführt$\{ u_{\mathbf{k}} \}_{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3}$(die positiven Frequenzmodi) und$\{ u^{\ast}_{\mathbf{k}} \}_{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3}$(die negativen Frequenzmoden), die ebene Wellenlösungen der KG-Gleichung sind, die mit dem Drei-Impuls gekennzeichnet sind$\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3$:

$$u_{\mathbf{k}}(x) \ = \ u_{\mathbf{k}}(x^0,\mathbf{x}) \ = \ \left( (2\pi)^3 2 \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 } \right)^{-\frac{1}{2}} e^{ - i \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 }\ x^0 + i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} }$$ Die Minkowski-Modi haben Normalisierungen $\left( (2\pi^3) 2 \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 } \right)^{-\frac{1}{2}}$weil sie in Bezug auf das innere Klein-Gordon-Produkt normalisiert sind, das für alle komplexwertigen Funktionen definiert ist $f,g$als $$\langle f,g\rangle = i \int_{\Sigma} d^{3}\mathbf{x} \ \left[ f^{\ast}(x) \frac{\partial g}{\partial x^0} - \frac{\partial f^{\ast}}{\partial x^0} g(x) \right]$$

Wo$\Sigma$ist eine 3D-Hyperfläche mit konstanter Zeit$x^0$(Da die zu integrierende Funktion ein Erhaltungsstrom ist, folgt daraus, dass der Wert von$\langle f,g\rangle$ist unabhängig von der Wahl$\Sigma$verwendet, um es zu integrieren). Die Minkowski-Modi sind so normalisiert, dass:

$$\langle u_{\mathbf{k}}, u_{\mathbf{p}} \rangle = \delta(\mathbf{k} - \mathbf{p}) \\ \langle u_{\mathbf{k}}, u^{\ast}_{\mathbf{p}} \rangle = 0 \\ \langle u^{\ast}_{\mathbf{k}}, u^{\ast}_{\mathbf{p}} \rangle = - \delta(\mathbf{k} - \mathbf{p})$$

An dieser Stelle wird in den Texten oft gesagt, dass die Minkowski-Modi vollständig sind , weshalb wir dann das Skalarfeld erweitern können$\phi$als$\phi(x) = \sum u_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}} + u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x) a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$, und dann quantisieren$a_{\mathbf{k}}$Und$a_{\mathbf{k}}^{\dagger}$, usw.

Meine Frage: Was bedeutet es genau, dass die Minkowski-Modi hier vollständig sind?

Die Texte scheinen alle diesen Punkt zu übersehen. Ich möchte sagen, dass es eine Vollständigkeitsbeziehung geben sollte$\sum_{\mathbf{k}} u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x)u_{\mathbf{k}}(y)$was proportional zu beiden ist$\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})$oder vielleicht$\delta^{(4)}(x - y)$aber das scheint nicht zu stimmen. Ich bin mir nicht einmal sicher, was der Vektorraum ist, der hier vollständig ist.

BEARBEITEN 1: Ich arbeite in gewöhnlichen rechteckigen Minkowski-Koordinaten (flacher Raum) mit Metrik$\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$. Mich interessiert, wie man die Moden in diesem einfachsten Fall konstruiert (die gekrümmten Raumzeittexte verallgemeinern dieses Verfahren dann auf beliebige Mannigfaltigkeiten)

EDIT 2: Ich vermute, dass die Art und Weise, die Vollständigkeit hier zu verstehen, in etwa so ist, wie Sie es in QM tun würden. Wenn$\{ |n\rangle \}_{n=1}^{N}$ist für einige ein vollständiger Satz von Zuständen$N$-dimensionaler Hilbertraum$\mathcal{H}$, dann haben wir$\sum_{n=1}^N |n\rangle\langle n| = \mathbb{I}_{N\times N}$, was die Erweiterung eines beliebigen Zustands ermöglicht$|\psi\rangle$als$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^N \langle n|\psi\rangle |n\rangle$. Der Ausbau erfolgte auf dem Feld$\phi(x)$ist genau$\phi(x) = \int d^3\mathbf{k}\ \big[ u_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}} + u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}}^{\dagger} \big]$, Wo$a_{\mathbf{k}}=\langle u_{\mathbf{k}}, \phi\rangle$Und$a^{\dagger}_{\mathbf{k}}=\langle u^{\ast}_{\mathbf{k}}, \phi\rangle$.