Vakuumerwartungswert bei Anwesenheit einer Quelle

Schnelle Antwort

Meine Frage ist, wie funktioniert das Vorhandensein von Nicht-Null$J(x)$ergibt einen nicht trivialen raumzeitabhängigen Wert von$\langle 0|\phi(x)|0\rangle$?

Die gleichung$\phi(x)=\mathrm e^{-iPx}\phi(0)\mathrm e^{iPx}$funktioniert beides für$J=0$Und$J\neq 0$. Deshalb,

$$\langle \phi(x)\rangle_J= {}_J\langle 0|\mathrm e^{-iPx}\phi(0)\mathrm e^{iPx}|0\rangle_J$$

Was stimmt wann nicht$J\neq 0$ist das$P|0\rangle_J\stackrel{\text{no}}{=}0$(weil die Quelle die Invarianz bricht), und deshalb können wir das nicht schlussfolgern

$$\langle \phi(x)\rangle_J\stackrel{\text{no}}{=} {}_J\langle 0|\phi(0)|0\rangle_J$$

Daher, wenn$J\neq 0$das vev hängt von der Position ab$x$.

Um die explizite Abhängigkeit von zu finden$\langle \phi(x)\rangle_J$mit$x$, anstatt Operatoren zu verwenden, ist es einfacher, mit Pfadintegralen zu arbeiten:

$$\langle \phi(x)\rangle_J=\frac{\delta}{\delta J(x)}\exp\left[-i\int \mathrm dy\,\mathrm dz\ J^*(y)\Delta(y-z)J(z)\right]$$ was Sie meiner Meinung nach selbst berechnen können (beachten Sie, dass das Ergebnis proportional zu ist $J(x)$und so geht das vev gegen null $J\to 0$, wie erwartet).

Das (etwas) größere Bild

Zunächst müssen wir zwischen internen und externen Quellen unterscheiden :

• Eine interne Quelle ist ein Begriff im Lagrange, der nur dynamische Felder umfasst, dh Felder, die Teil der Bewegungsgleichungen sind. Zum Beispiel können Sie eine KG-Theorie haben,

  $$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2+g\phi^3$$ wobei gesagt werden kann, dass der letzte Begriff eine interne Quelle ist (obwohl die übliche Terminologie nur Interaktion ist ). Dieser Begriff ist intern , weil er nur davon abhängt$\phi$, das selbst ein dynamisches Feld ist (bestimmt aus den EoMs). Ein weiteres (anschaulicheres) Beispiel ist der Lagrangian für QED, $$\mathcal L\sim \bar\psi(i\not\partial-m)\psi-F^2+eA_\mu \bar\psi\gamma^\mu\psi$$ Auch hier ist der letzte Term eine interne Quelle, da er nur von dynamischen Feldern abhängt,$\psi$Und$A$, die aus dem EoM ermittelt werden. Ich möchte betonen, dass man im Allgemeinen nicht von „interner Quelle“, sondern von „Interaktion“ spricht.

• Eine externe Quelle ist eine Funktion im Lagrangian, die extern bestimmt (fest) ist, dh eine Funktion, die nicht dynamisch ist (es gibt keine Bewegungsgleichung für diese Funktion). Typische Beispiele sind die$J$'s, die in Pfadintegralen verwendet werden,

  $$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2+g\phi^3+\phi(x)J(x)$$ und feste (Hintergrund-)Funktionen in effektiven Theorien, wie zum Beispiel das elektromagnetische Feld in einer Niederenergiebehandlung des Wasserstoffatoms: $$\mathcal L\sim \bar\psi(i\not\partial-m)\psi+eA_\mu \bar\psi\gamma^\mu\psi$$ (Hier,$A_\mu$ist eine externe Quelle, da es keinen kinetischen Term gibt$F^2$dafür, und so der Wert von$A$muss von Hand geschrieben werden, sagen wir ein Coulomb-Potential$A_0\sim e/r$.

Beachten Sie, dass externe Quellen die Translationsinvarianz der Theorie brechen (aus dem offensichtlichen Grund: Eine externe Quelle hat eine feste Abhängigkeit von der Position, und daher sieht die "Physik nicht überall gleich aus"). Wenn es also externe Quellen gibt,$P_\mu|0\rangle\neq 0$und vev hängen von der Position ab, wie im ersten Teil dieser Antwort besprochen.

Andererseits brechen interne Quellen die Translationsinvarianz der Theorie nicht, weil sich die Quellen selbst zusammen mit den Feldern transformieren. Anhand eines Beispiels ist dies vielleicht einfacher zu verstehen. Betrachten Sie zunächst eine Theorie mit nur internen Quellen:

$$S=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x))^2-m^2\phi(x)^2-g\phi(x)^3$$ was nach einer Übersetzung $x\to x-a$verwandelt sich in $$S_a=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x-a))^2-m^2\phi(x-a)^2-g\phi(x-a)^3$$ das ist das gleiche wie vorher, $S_a=S$, denn wir integrieren über allen Raum und $\mathrm d(x-a)=\mathrm dx$.

Betrachten Sie andererseits eine Theorie mit einer externen Quelle:

$$S=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x))^2-m^2\phi(x)^2-\phi(x)J(x)$$ was nach einer Übersetzung $x\to x-a$verwandelt sich in $$S_a=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x-a))^2-m^2\phi(x-a)^2-\phi(x-a)J(x)$$ das ist nicht das gleiche wie vorher, wegen der $J(x)$Begriff. Die Handlung ist nicht mehr dieselbe wie zuvor, und so veränderte die Übersetzung die Theorie. An dieser Stelle möchten Sie vielleicht diese Antwort von mir lesen . In der Notation dieses Beitrags, der $(2)$Ableitung einer Lagrangian mit externen Quellen ist ungleich Null.

Um zu rekapitulieren,

• Wenn es nur interne Quellen gibt , dann ist die Theorie translationsinvariant, und daher sind alle vev 's positionsunabhängig (wie leicht gezeigt werden kann, indem man verwendet$P_\mu|0\rangle=0$Und$Q_\alpha(x)=\mathrm e^{-iPx}Q_\alpha(x)\mathrm e^{iPx}$, Wo$Q_\alpha(x)$ist ein beliebiges Feld). Meistens definieren wir jedes Feld neu$Q_\alpha(x)\to Q_\alpha(x)-\langle Q\rangle$so dass alle vev Null sind (dies ist relevant für die Renormierung). In manchen Fällen (z. B. beim Higgs-Feld) ist ein vev ungleich Null physikalisch relevant (ergibt aber nur wegen der Form der Lagrangian für das Higgs-Feld Sinn und würde beispielsweise für a keinen Sinn machen Standard-KG-Feld). Wenn die Quellen intern sind, dann sind vev auf jeden Fall konstant.

• Wenn es nur externe Quellen gibt , dann ist die Theorie frei. Daher sind die vev 's positionsabhängig, aber im Limit$J\to 0$Wir müssen haben$\langle\phi\rangle\to 0$, wie es für eine freie Theorie sein muss.

• Wenn es interne und externe Quellen gibt, sind die vev positionsabhängig und gehen nicht auf Null, da die externen Quellen auf Null gehen (und deshalb müssen wir die Felder neu normalisieren).