Repräsentieren ein Symmetrieoperator UUU und sein Generator QQQ, der auf ein Vakuum |0⟩|0⟩|0\rangle wirkt, beide ein neues entartetes Vakuum?

Die geringstmögliche Energie (die wir mit Null annehmen können) ist nur eine notwendige Bedingung, keine hinreichende Bedingung, damit sich ein Zustand als Vakuumzustand qualifizieren kann. Für einen Staat$|0\rangle$Um sich als Vakuumzustand zu qualifizieren, muss er auch die Clustereigenschaft haben . Die Cluster-Eigenschaft ist

Abschnitt 19.1 in Weinberg, The Quantum Theory of Fields , Band 2, erklärt, dass wir unter allen Nullenergiezuständen eine Basis auswählen können$|k\rangle$in welchem$\langle j|A|k\rangle=0$für$j\neq k$für alle lokalen Betreiber$A$. (Ich betrachte den Fall einer spontan gebrochenen diskreten Symmetrie, um technische Komplikationen zu vermeiden, aber die gleiche Idee gilt im Fall einer kontinuierlichen Symmetrie.) Weinberg erklärt, dass jeder dieser Basiszustände die Cluster-Zerlegungseigenschaft hat, aber andere Überlagerungen von diese Basiszustände nicht. Nur die Basisstaaten$|k\rangle$als Vakuumzustände zu qualifizieren, obwohl willkürliche Überlagerungen von ihnen ebenfalls null Energie haben.

Wenn$|0\rangle$ist einer der qualifizierten Vakuumzustände und$\hat Q$ist dann der Generator der kontinuierlichen SSB-Symmetrie$|\theta\rangle \equiv\exp(i\hat Q\theta)|0\rangle$ist ein weiterer qualifizierter Vakuumzustand. Im Fall der kontinuierlichen Symmetrie können wir die Zustände nicht einmal betrachten$|\theta\rangle$mit unterschiedlichen$\theta$als zu demselben trennbaren Hilbert-Raum gehörend, weil ein trennbarer Hilbert-Raum kein Kontinuum von zueinander orthonormalen Zuständen haben kann. Das ist die "technische Komplikation", auf die ich oben angespielt habe. Eine verwandte Komplikation verhindert$\hat Q|0\rangle$davon ab, ein wohldefinierter Zustandsvektor zu sein, weil$\hat Q$soll so etwas wie die Ableitung bzgl. sein$\theta$, aber Staaten mit unterschiedlichen Werten von$\theta$nicht einmal zu demselben (trennbaren) Hilbert-Raum gehören.

Vielleicht lassen sich diese technischen Komplikationen vermeiden, indem man in einem endlichen Raumvolumen arbeitet; Ich bin mir nicht sicher. Strenges SSB tritt nicht in einem endlichen räumlichen Volumen auf, aber wir können untersuchen, wie SSB in der Grenze des unendlichen Volumens entsteht.

Auch wenn dieses Vakuumselektionskriterium (das Cluster-Prinzip) oft als separates Prinzip dargestellt wird, so wie ich es hier dargestellt habe, ist es wirklich nur ein idealer Spezialfall des Prinzips, das wir verwenden könnten, um zu diagnostizieren, wann eine Observable gemessen wurde, in einem Modell, das die Messausrüstung usw. als Teil des Quantensystems enthält. Im SSB-Fall ist die "gemessene" Observable eine Observable, deren Eigenzustände die Basiszustände sind$|k\rangle$die nicht durch lokale Operatoren miteinander verbunden werden können, also sind dies die Vakuumzustände, die wir tatsächlich nach dieser "Messung" erleben, auch wenn wir mit einer Überlagerung von ihnen begonnen haben. Aus dieser Perspektive kann SSB für alle praktischen Zwecke sogar in einem Raum mit endlichem Volumen auftreten, und zwar aus demselben Grund ("Dekohärenz"), aus dem wir praktisch nicht in der Lage sind, eine Überlagerung von Messergebnissen im Nachlauf einer Messung zu beobachten. In der Praxis muss ein Ferromagnet nicht unendlich groß sein, um spontan magnetisiert zu werden.

Verwandt:

Warum Symmetriebrechung?

Was ist spontane Symmetriebrechung in QUANTUM-Systemen?

Warum nehmen wir an, dass das räumliche Volumen unendlich ist?

Anhang: eine weitere Referenz

Im Zusammenhang mit Spinsystemen (wie dem Ising-Modell) zeigt Abschnitt 23.3 ("Ordnungsparameter und Clustereigenschaften") in Zinn-Justins Quantenfeldtheorie und kritische Phänomene, dass die Anforderung, dass Vakuumzustände die Clustereigenschaft erfüllen, eindeutig den konventionellen SSB-Boden auswählt Zustände und eliminiert alle anderen Überlagerungen von ihnen, obwohl sie alle die gleiche Energie haben.