Wie ist es möglich, das Skalarprodukt von Zuständen zu bilden, die zu zwei verschiedenen Hilbert-Räumen gehören?

Zu Frage 1:

Zwei Hilbert-Räume${\cal H}_A$Und${\cal H}_B$können immer als zueinander orthogonale Unterräume eines einzelnen Hilbertraums betrachtet werden${\cal H}$. Die Algebra der Observablen enthält möglicherweise keine Operatoren, die diese beiden Unterräume verbinden, aber ich denke nicht, dass es ein Problem gibt, Beziehungen wie z$\langle a|b\rangle=0$mit$|a\rangle\in{\cal H}_A$Und$|b\rangle\in{\cal H}_B$.

Da sich die Frage jedoch auf eine spontan gebrochene kontinuierliche Symmetrie bezieht, werden die Familiengrundzustände durch einen kontinuierlichen Parameter parametrisiert$\theta$, gibt es ein Problem mit der Gleichung$\langle \theta|\theta'\rangle=\delta(\theta-\theta')$. Das Problem ist, dass diese Gleichung die Existenz einer unabzählbar unendlichen Anzahl von zueinander orthogonalen Zustandsvektoren implizieren würde, was implizieren würde, dass der Hilbert-Raum nicht trennbar ist. Die Quanten(feld)theorie basiert normalerweise auf einem separierbaren Hilbert-Raum. In diesem Fall ist die Antwort meiner Meinung nach, dass diese verschiedenen Vakuumzustände nicht alle zu demselben (trennbaren) Hilbert-Raum gehören können, sodass Gleichungen, die ihre inneren Produkte beinhalten, zweifelhaft sind.

Zugegeben, auch einleitende QM-Texte schreiben oft Dinge wie$\langle x|x'\rangle=\delta(x-x')$in Bezug auf die "Eigenzustände des Positionsoperators", aber das ist aus demselben Grund auch schlecht definiert. Der Positionsoperator hat keine Eigenzustände und ist sowieso nicht im gesamten Hilbert-Raum definiert, da er unbegrenzt ist.

Zu Frage 2:

Ich sehe nicht, wie ein lokaler Betreiber zwei verschiedene SSB-Grundzustände verbinden kann. Wir können jedoch eine Beziehung der Form haben$\langle 0|J_0(x)|\pi\rangle\neq 0$, Wo$|0\rangle$ist ein Grundzustand und$|\pi\rangle$ist ein Zustand, der ein einzelnes Goldstone-Boson enthält, wobei dieses einzelne Boson in der Welt lebt, dessen Grundzustand ist$|0\rangle$, nicht in einer Welt, deren Grundzustand ist$|\theta\rangle$mit$\theta\neq 0$. Dieser Zusammenhang ist beispielsweise auf Seite 332 in diesem Beitrag dargestellt: „Spontaneous Breakdown of Symmetries and Zero-Mass States“, https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103840121 , abgerufen am 26.10.2018. Die Notation im Wikipedia-Artikel ist diesbezüglich nicht sehr klar, aber ich vermute, dass dies so gemeint war.

Um diese Vermutung darüber zu untermauern, was der Wikipedia-Artikel gemeint haben könnte, wird die gleiche Beziehung (ein lokaler Strom, der einen Vakuumzustand mit einem Ein-Boson-Zustand verbindet , nicht mit einem anderen Vakuumzustand) in Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Band II , gezeigt . Gleichung (19.2.34), in genau demselben Kontext einer spontan gebrochenen globalen Symmetrie.