Interpretation des Verbreiters

In der Quantenmechanik ist das klar$\langle x|y\rangle = 0$für$x\ne y$, Wo$|x\rangle$ist der Zustand mit dem Teilchen an der Position$x$. (Beachten Sie, dass dies$|x\rangle$unterscheidet sich von der üblichen Bedeutung in den meisten Lehrbüchern. In dieser Interpretation haben wir es so normalisiert$\langle x | x \rangle=1$.) Allerdings bin ich etwas verwirrt über dieses Bild in der relativistischen Quantenfeldtheorie.

Das Spielzeugbeispiel, mit dem ich gespielt habe, sind die Ein-Teilchen-Zustände im massiven bosonischen freien Feld. Nehmen Sie unseren Hilbert-Raum zur Zeit an$0$sein$\mathcal{H} = \text{span} \{|x\rangle|x^0=0\}$, Wo$|x\rangle$stellt den Zustand dar, in dem sich das Teilchen befindet$x$.

Man kann finden$\langle x |y\rangle=D(x-y)=\int \frac{d^Dk}{(2\pi)^D} \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-m^2+i\epsilon}$in den meisten Lehrbüchern. Und nach einigem Rechnen sieht man das$D(0)=\infty$Und$D(x)\ne 0$selbst wenn$x\ne0$(dh wenn sie räumlich getrennt sind). Ich fand es verwirrend, als wir diese Fakten zusammenstellten$\langle x |y\rangle=D(x-y)$:

1. Es ist nicht normalisiert$1$Wenn$x=y$.

2. Angenommen, die Normalisierung ist kein Problem, und zwar$\langle x|y\rangle \ne 0$für$x\ne y$, wie ist dieser Unterschied zur Quantenmechanik zu verstehen? Kommt das vom relativistischen Effekt?

Ich bin ziemlich interessiert/überrascht/besorgt über das Verhalten in 2, denn wenn dies wahr wäre, wäre es etwas zweideutig zu schreiben$|x\rangle$in dem Sinne, dass es sich auch um eine Linearkombination von Teilchen an anderen Positionen handelt.

Bearbeiten: Ich glaube, es gibt einen Punkt, der in den Antworten noch nicht erklärt wird. Ich werde versuchen, den Punkt anhand der folgenden Frage zu zeigen.

Frage: Sollte

$$\int|x,t=0\rangle \langle x,t=0| d^Dx = \text{some const} \cdot I \tag{1}$$ (sagen wir, wir sind in der Dimension D+1)

Dies gilt im Kontext von QM und gilt auch für kohärente Zustände$|p,x\rangle$in einem harmonischen Oszillator.

Ich glaube, dass die obige Gleichung wegen ihrer Symmetrie richtig ist. Ich habe jedoch keinen Weg gefunden, dies zu beweisen, und hier ist ein Gegenargument.

$$\begin{align} D(a-b) \sim \langle a|b \rangle &\sim \langle a|\int dx |x\rangle\langle x| b \rangle \\ &\sim \int dx D(a-x)D(x-b), \end{align}$$ was bei Massive Field in 1+1 nicht der Fall ist. (Vor diesem Hintergrund kann man versuchen, die Gleichung durch zu ersetzen$\int dx dy A(x,y)|x\rangle\langle y|=I$für einige nicht diagnal$A$, aber ich habe keine Ahnung, warum dies notwendig ist, und ich habe keine explizite Konstruktion.)

Wenn wir davon ausgehen, dass die obige Identität (1) korrekt ist, wird die Konstante trotzdem durch Berechnung bestimmt

$$\begin{align}c &=\langle x=0, t=0|c \cdot I|x=0, t=0 \rangle \\ &= \int d^Dx \langle x=0, t=0|x,t=0\rangle \langle x,t=0|x=0, t=0 \rangle \\ &= \int d^Dx D(x) D(-x)\end{align}.$$

Obwohl die Identität vernünftig aussieht, hat sie eine nicht intuitive Konsequenz:

$$|x=0,t=0\rangle = \int dx |x,t=0\rangle D(x),$$ Das ist das Problem, über das ich mir Sorgen gemacht habe.

(Ein möglicher Bonus dieser Sichtweise ist, dass die zusätzliche lineare Abhängigkeit der Zustandsvektoren das Auftreten der Bekenstein-Grenze erklärt.)