Einheiten einer Dirac-Delta-Funktion in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik sind die Eigenfunktionen des Ortes Dirac-Delta-Funktionen,$A\delta(x-x_0)$, Wo$A$ist etwas konstant. Eigenfunktionen der Position werden üblicherweise mit einer „Deltafunktionsnormierung“ normiert. Das bedeutet, dass$\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$, was sich formal verstehen lässt, wenn man im Integral die Verschiebungseigenschaft einer der Deltafunktionen auf die andere anwendet

$$\langle x | x' \rangle = \int_\mathbb{R}\mid A \mid^2\delta(y-x)\delta(y-x')~\mathrm{d}y.$$

Dies ergibt als Ergebnis$\mid A \mid^2 \delta(x-x')$, also der Koeffizient$A$sollte eingestellt werden$1$. Bis heute dachte ich, ich hätte das so gut verstanden, aber jetzt ist mir klar geworden, dass es hier irgendwo ein Problem mit den Abmessungen gibt. Um für einen Ausdruck wie$\int_\mathbb{R} \psi^*(x) \psi(x)~\mathrm{d}x$Um dimensionslos zu sein, sollten Ortsraum-Wellenfunktionen Dimensionen von haben$\frac{1}{\sqrt{L}}$. Dies bedeutet, dass eine Erweiterung hinsichtlich Ortseigenfunktionen, wie z

$$\mid \psi \rangle = \int_\mathbb{R} \psi(x) \mid x \rangle~\mathrm{d} x$$ würde nur Sinn machen, wenn Ortseigenfunktionen selbst Einheiten von hätten $\frac{1}{\sqrt{L}}$.

Das stört mich etwas, das innere Produkt zweier Ortseigenfunktionen sollte, wenn man sich das Integral anschaut,

$$\langle x | x' \rangle = \int_\mathbb{R}\delta(y-x)\delta(y-x')~\mathrm{d}y$$ sei dimensionslos (zwei Dinge mit Dimensionen $\frac{1}{\sqrt{L}}$innen und de $\mathrm{d}x$Faktor, mit Dimensionen $\frac{1}{L}$), aber die Normalisierung der Delta-Funktion impliziert, dass es sich um eine neue Delta-Funktion handelt ... daher hat sie Dimensionen von $\frac{1}{\sqrt{L}}$! Wie kann das richtig gemacht werden?

Es ist mir auch seltsam, dass in anderen Bereichen der Physik (z. B. Elektromagnetismus) Deltafunktionen normalerweise mit Dimensionen von angegeben werden$\frac{1}{D}$, Wo$D$ist die Dimension des Arguments. Dies scheint hier nicht der Fall zu sein, und ich bin etwas verwirrt darüber. Beim Wechsel von kartesischen zu Polarkoordinaten beispielsweise ist das Natürliche im Elektromagnetismus zu beachten

$$\delta(x-x_0) \delta(y-y_0) = \frac{\delta(r-r_0)\delta(\phi-\phi_0)}{r},$$ aber das bringt Einheiten in der Quantenmechanik durcheinander, weil in der Quantenmechanik die linke Seite andere Dimensionen hätte als die rechte Seite ... Man könnte vielleicht überlegen $$\frac{\delta(r-r_0)\delta(\phi-\phi_0)}{\sqrt{r}}$$ als das Richtige, um es in QM aufzuschreiben, aber es sollte nur eine Möglichkeit geben, Delta-Funktionen in verschiedene Variablen zu schreiben ... sollte es nicht so sein? die jakobinische Determinante sollte nach unten gehen. Wie macht das im QM Sinn?