Norm des Quantenzustands in drei Dimensionen

Die Born-Interpretation besagt das für ein Teilchen mit einer Wellenfunktion$\Psi(x)$, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dieses Teilchen irgendwo im Raum zu finden, gleich$\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)^*\Psi(x)dx = 1$.

Angenommen, wir haben einen Staat$\rvert\psi\rangle$im Hilbertraum$\mathcal{H} = \mathcal{L}^2(\mathbb{R})$. Der Positionsoperator ist hier$\hat{x}$mit Eigenwerten von$x$. Um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, muss der Zustand normalisiert werden. Um zu prüfen, ob$\rvert\psi\rangle$normalisiert ist, berechnen wir seine Norm:

$$\langle\psi\rvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert\hat{I}\rvert\psi\rangle = \langle\psi\rvert\left(\int_{-\infty}^{\infty}dx\rvert x\rangle\langle x\rvert\right) \rvert\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}dx\langle\psi\rvert x\rangle\langle x\rvert\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)^*\psi(x)dx.$$

Nehmen wir nun an, wir haben einen Staat$\rvert\phi\rangle$im Hilbertraum$\mathcal{H} = \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$. Der Positionsoperator ist hier, wenn ich das richtig verstehe,$\hat{\textbf{r}}_n$mit Vektoreigenwerten von$\textbf{r}_n$(gemäß dieser Antwort: https://physics.stackexchange.com/a/126763/117677 ). Das wollen wir jetzt noch einmal sicherstellen$\rvert\phi\rangle$ist normalisiert. Seine Norm (Verallgemeinerung aus dem vorherigen Fall) ist gegeben durch

$$\langle\phi\rvert\phi\rangle = \langle\phi\rvert\hat{I}\rvert\phi\rangle = \langle\phi\rvert\left(\int_{-\infty}^{\infty}d\textbf{r}_n\rvert \textbf{r}_n\rangle\langle \textbf{r}_n\rvert\right) \rvert\phi\rangle.$$ Das macht für mich nicht viel Sinn, da wir das Differential eines Vektors haben, $d\textbf{r}_n$, und das ket $\rvert\textbf{r}_n\rangle$, was wie das doppelte Beschriften eines Vektors ist.

Wie berechnet man also die Norm eines Zustands in mehr als einer Dimension? Habe ich falsch verallgemeinert oder fehlt mir nur eine wichtige Intuition?