Zustand als Eigenkets ausdrücken

Deine zweite Gleichung stimmt nicht ganz. Wenn Sie einen kontinuierlichen vollständigen Satz von Zuständen haben$\{|p⟩\}$, dann die korrekte Entwicklung eines gegebenen willkürlichen Zustands$|P⟩$in dieser Basis ist von der Form

$$|P⟩ = \int\mathrm dp \: f(p)|p⟩, \tag 1$$ mit einer einzigen willkürlichen Funktion $f(p)$über die Indizierungsvariable $p$als (stetigen) Koeffizienten. Hier das $dp$bedeutet Integration vorbei $p$wie gewöhnlich.

Die Frage, was dieses Integral eigentlich bedeutet und wie es definiert ist, ist mathematisch gesehen kein besonders einfaches Thema. Im Wesentlichen nehmen Sie eine Funktion ein, die dauert$p\mapsto f(p)|p⟩$, so dass es reelle Zahlen in Zustandsvektoren aufnimmt,$\mathbb R\to\mathcal H$, und die Integration von vektorwertigen Funktionen ist nicht besonders einfach, wenn der Vektorraum ein riesiger Raum ist$L_2(\mathbb R)$. Wenn Sie dies richtig machen wollen, brauchen Sie eine ziemlich klobige Funktionsanalyse und messen Sie die Theorie, um es richtig zu machen.

Der coole Teil ist, dass die Antwort meistens darauf hinausläuft, „es einfach Komponente für Komponente zu tun“. Angenommen, Sie möchten eine gute Definition für bereitstellen$(1)$. Dann wählt man zunächst eine Basis für den Raum aus, etwa die Positionsdarstellung$\{|x⟩\}$, und dann projizieren Sie beide Seiten, um die Komponente miteinander zu verbinden$|x⟩$:

$$⟨x|P⟩ = \int\mathrm dp \: f(p)⟨x|p⟩. \tag 2$$ Dies ist eigentlich ein viel einfacher zu definierendes Integral, weil Sie einfach eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen haben, $p\mapsto f(p)⟨x|p⟩$, Wo $⟨x|p⟩$eine bekannte Funktion ist, also das Integral in $(2)$in die Integrale faltet, die wir bereits zu definieren wissen. (In der Praxis möchten Sie eher das Lebesgue-Integral als die Riemann-Summen verwenden , aber das ist nur dann der Fall, wenn Sie sich um die maßtheoretischen Überlegungen kümmern.) Wenn Sie alles richtig gemacht haben und alle Ihre Funktionen gut genug sind, wird dies funktionieren, und geben Sie den gleichen Vektor $|P⟩$unabhängig davon, welche Darstellung Sie verwenden, um es zu berechnen.

Ok, ich glaube, ich verpasse eine wirklich wichtige Sache. im diskreten Express. Ich verwende grundiert für diskret und umgrundiert für kontinuierlich

$$|P'\rangle = \sum^n |p'_n\rangle$$ $|p'\rangle$unterscheidet sich von der kontinuierlichen. im Falle der Position ist das diskrete Eigenket die Wahrscheinlichkeit, aber für kontinuierliche seine Wahrscheinlichkeitsdichte. für kontinuierlich $|p\rangle dp$ist eine Analogie zu $|p'\rangle$im diskreten. Schreiben Sie also den Ausdruck der kontinuierlichen Eins in Form der Summe $$|P⟩ = \int\mathrm dp \:|p⟩ = \sum^\infty |p\rangle dp \rightarrow \lim_{n\to \infty} \sum^n |p'_n\rangle$$ es ist wie das Erstellen einer diskreten Delta-Funktion aus einer kontinuierlichen $$\delta_{mn} = \delta(m-n)da$$ mit $\delta(m-n) = \frac{\delta_{mn}}{da}$, was "groß" ist und eine Analogie zur Wahrscheinlichkeitsdichte ket darstellt. $\delta_{mn}$ist eine Analogie zum Wahrscheinlichkeitsket. Es tut mir wirklich leid, dies angesprochen zu haben, ich gehe automatisch davon aus, dass beide Eigenkets dieselbe physikalische Bedeutung haben, was nicht der Fall ist. (Menschen neigen dazu, den Buchstaben nicht zu ändern, wenn sie den kontinuierlichen ausdrücken.) Hier geht es also wirklich nur um die Idee, eine Grenze zu nehmen, um eine Integration und einen Symbolmissbrauch zu konstruieren. Vielen Dank für die Hilfe und nochmals Entschuldigung für diese trivale Frage.