Zur Definition des Erwartungswertes in der Quantenmechanik

Da Sie ein bisschen mathematische Strenge wollen:

Ein Quantenzustand ist ein selbstadjungierter positiver Spurenklassenoperator auf einem Hilbertraum mit Spur 1. Dies wird als Dichtematrix bezeichnet$\rho$. In seiner einfachsten Form gegeben$\psi\in \mathscr{H}$,$\rho$ist der Orthogonalprojektor auf dem von aufgespannten Unterraum$\psi$. Lassen$E_\rho(\cdot):D_\rho\subset\mathcal{A}(\mathscr{H})\to \mathbb{R}$sei die Karte definiert als:

$$E_\rho(A)=\mathrm{Tr}(A\rho)\; ,$$ Wo $\mathcal{A}(\mathscr{H})$ist der Raum der selbstadjungierten Operatoren, $\mathrm{Tr}$ist die Spur eingeschaltet $\mathscr{H}$Und $$D_\rho=\{A\in \mathcal{A}(\mathscr{H})\; ,\; \mathrm{Tr}\lvert A\rho\rvert<+\infty\}\; .$$ Die Karte $E_\rho(\cdot)$hat alle Eigenschaften einer Erwartung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich weiß nicht, ob es möglich ist, das Maß zu charakterisieren $\mu$damit verbunden (vielleicht durch die damit verbundenen prognostizierten Messwerte $\rho$nach dem Spektraltheorem, aber es ist zumindest für mich nicht einfach).

$$<\hat{A}> = \int \psi^*(x)\hat{A}\psi(x) dx$$ Jetzt $\hat{A}\psi(x)=a(x)\psi(x)$So, $$<\hat{A}>=\int a(x)|\psi(x)|^2dx$$ Lassen $|\psi(x)|^2dx = d \mu$Jetzt $\int|\psi(x)|^2dx=\int d\mu = 1$ $$<\hat{A}> = \int a(\mu)d\mu$$

Darauf gibt es zwei Antworten. Eine Antwort weist einfach darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit des j-ten Ergebnisses durch die Born-Regel angegeben wird$p_j = tr(\rho\hat{P}_j)$, Wo$\hat{P}_j$der Projektor auf das j-te Ergebnis ist, die Wahrscheinlichkeitsaxiome erfüllen:

http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityAxioms.html .

Eine andere Antwort ist, dass die Born-Regel mithilfe der Entscheidungstheorie erklärt werden kann:

http://arxiv.org/abs/0906.2718 .

Observable sind mit linearen Operatoren verbunden, nicht mit messbaren Funktionen. Wie können wir also über die Erwartung eines linearen Operators sprechen?

Die „Erwartung eines linearen Operators“ ist ein Begriff aus der Quantentheorie. Sie wird durch das Integral definiert

$$\int \psi^*(x)\hat{A}\psi(x) dx$$ o.ä. Die Bedeutung dieser Zahl ist nicht unbedingt dieselbe wie die Erwartung in der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Diese Zahl wurde im Sinne von tatsächlichem Wert, durchschnittlichem tatsächlichen Wert, erwartetem durchschnittlichem tatsächlichen Wert, erwartetem durchschnittlichen Wert von Messergebnissen oder anderen verwendet. Obwohl Einigkeit über die Nützlichkeit der Grundformeln besteht, bringt das Konzept der Wahrscheinlichkeit und insbesondere der Wahrscheinlichkeit in der Quantentheorie viele Rätsel mit sich, über die es keine allgemeine Übereinstimmung gibt.

Und Lehrbücher der Quantenmechanik verwenden Erwartungen und Varianzen, ohne zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsräume zu erwähnen. Verwendet die Quantenmechanik etwas anderes als die gewöhnliche Wahrscheinlichkeitstheorie?

Menschen verwenden viele Regeln, einige Quanten-, andere aus der gewöhnlichen Wahrscheinlichkeitstheorie, um Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. Diese sind nicht immer kompatibel. Dann interpretieren die Menschen diese Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich. Leider herrscht hier viel Verwirrung.

Lassen Sie uns die Bra-Ket-Notation verwenden. Angenommen, der Betreiber$\hat A$hat diskrete und beschränkte Eigenwerte$\mathcal A =\{A_1, A_2, \ldots\}$mit eigenkets$|A_1\rangle, A_2\rangle,\ldots$. Die Eigenkets bilden seitdem eine vollständige orthogonale Menge$\hat A$ist symmetrisch. Dann irgendein Ket$|\psi\rangle$erweiterbar,

$$|\psi\rangle = \sum \psi_n |A_n\rangle.$$ Seit der $|A_n\rangle$sind orthogonal, $$\langle \psi |\psi \rangle =\sum \psi_n^* \psi_n = \sum |\psi_n|^2 = 1.$$ Ganz klar die Karte $$\mu_\psi : 2^\mathcal{A} \to \mathbb{R}^+$$ definiert auf Singletons durch $$\mu_\psi : \{A_n\} \mapsto |\psi_n|^2$$ und erweitert um Additivität definiert ein Maß für die $\sigma$-Algebra von Teilmengen von $\mathcal A$. Seit $\mu_\psi(\mathcal A) = 1$, es ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Durch Ausbau $\langle \psi |A |\psi\rangle$Sie sehen, dass diese Größe tatsächlich der im üblichen Sinne definierte Erwartungswert der Verteilung ist.

Bei einem kontinuierlichen oder unbegrenzten Spektrum gehen Summen in Integrale über. Aber man muss vorsichtiger sein, da ein solcher Operator nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum definiert ist und möglicherweise keine Eigenfunktionen im Hilbert-Raum hat (zum Beispiel sind der Impulsoperator und die Positionsoperatoren so; ihre Eigenfunktionen sind es nicht$L^2$). Aber mit einigem Aufwand können die obigen formalen Schritte wiederholt werden.

Man kann abstraktere Vorschlaghämmer wie in einer anderen Antwort verwenden , um die Entsprechung per Definition offensichtlich zu machen, aber ich denke, diese Erklärung ist für einen Anfänger einfacher.